Решение задачи №3: Проверка гипотезы о математическом ожидании

Решение задачи №3: Дано: \( a_0 = 60 \) (предполагаемое математическое ожидание) \( \bar{x} = 64 \) (выборочное среднее) \( s_1 = 6 \) (исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение) \( n = 10 \) (объем выборки) \( \alpha = 0,05 \) (уровень значимости 5%) Требуется проверить нулевую гипотезу \( H_0: a = a_0 \) при конкурирующей гипотезе \( H_1: a \neq a_0 \) (двусторонняя критическая область). 1. Выберем статистический критерий. Так как дисперсия генеральной совокупности неизвестна и объем выборки мал (\( n < 30 \)), используем \( t \)-критерий Стьюдента. Наблюдаемое значение критерия вычисляется по формуле: \[ t_{набл} = \frac{(\bar{x} - a_0) \cdot \sqrt{n}}{s_1} \] 2. Вычислим наблюдаемое значение: \[ t_{набл} = \frac{(64 - 60) \cdot \sqrt{10}}{6} = \frac{4 \cdot 3,162}{6} = \frac{12,648}{6} \approx 2,108 \] 3. Найдем критическую точку \( t_{крит} \). Для двусторонней критической области она находится по таблице распределения Стьюдента по уровню значимости \( \alpha = 0,05 \) и числу степеней свободы \( k = n - 1 = 10 - 1 = 9 \). \[ t_{крит}(0,05; 9) \approx 2,26 \] 4. Сравним наблюдаемое и критическое значения: Так как \( |t_{набл}| < t_{крит} \) (\( 2,108 < 2,26 \)), то наблюдаемое значение попадает в область допустимых значений. Вывод: На уровне значимости 5% нет оснований отвергать нулевую гипотезу. Различие между выборочным средним \( \bar{x} = 64 \) и гипотетическим матожиданием \( a_0 = 60 \) является статистически незначимым и может быть объяснено случайными факторами выборки. Принимаем гипотезу о том, что математическое ожидание равно 60. Ответ: Нулевая гипотеза \( H_0 \) принимается.