Решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах

На представленном изображении приведено решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах. Ниже представлено подробное объяснение хода решения, оформленное для записи в тетрадь. Порядок уравнения: Данное уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка, так как в него входят только первые производные (или дифференциалы первого порядка) неизвестной функции. Ход решения: 1. Вид уравнения: Уравнение имеет вид \( P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 \), где: \[ P(x, y) = x^2 + y^2 + 2x \] \[ Q(x, y) = 2xy \] 2. Проверка условия полноты дифференциала: Чтобы уравнение было уравнением в полных дифференциалах, должно выполняться равенство частных производных: \[ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} \] Вычисляем: \[ \frac{\partial (x^2 + y^2 + 2x)}{\partial y} = 2y \] \[ \frac{\partial (2xy)}{\partial x} = 2y \] Условие \( 2y = 2y \) выполняется, значит, существует функция \( u(x, y) \), полный дифференциал которой равен левой части уравнения. 3. Поиск функции \( u(x, y) \): Из определения полного дифференциала имеем систему: \[ \begin{cases} \frac{\partial u}{\partial x} = x^2 + y^2 + 2x \\ \frac{\partial u}{\partial y} = 2xy \end{cases} \] Интегрируем первое уравнение по \( x \), считая \( y \) константой: \[ u = \int (x^2 + y^2 + 2x) dx = \frac{x^3}{3} + xy^2 + x^2 + \varphi(y) \] Здесь \( \varphi(y) \) — неизвестная функция от \( y \), играющая роль константы интегрирования. 4. Нахождение \( \varphi(y) \): Дифференцируем полученное выражение для \( u \) по \( y \): \[ \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{x^3}{3} + xy^2 + x^2 + \varphi(y) \right) = 2xy + \varphi'(y) \] Сравниваем результат со вторым уравнением системы (\( \frac{\partial u}{\partial y} = 2xy \)): \[ 2xy + \varphi'(y) = 2xy \] Отсюда следует: \[ \varphi'(y) = 0 \implies \varphi(y) = C_1 \] 5. Общий интеграл уравнения: Подставляем \( \varphi(y) \) в выражение для \( u \): \[ u = \frac{x^3}{3} + xy^2 + x^2 + C_1 \] Общее решение (общий интеграл) записывается в виде \( u(x, y) = C \). Объединяя константы, получаем окончательный ответ: \[ \frac{x^3}{3} + xy^2 + x^2 = C \]