Решение уравнения cos(x + π/3) = 0: подробное объяснение

Решение тригонометрического уравнения: \[ \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = 0 \] Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Вспомним, в каких точках косинус равен нулю на числовой окружности. Косинус равен нулю в верхней и нижней точках окружности, то есть при значениях: \[ \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, -\frac{\pi}{2} \dots \] Эти точки повторяются ровно через полкруга, то есть через промежуток \( \pi \). Поэтому общая формула для этого случая выглядит так: \[ x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} \] Теперь выразим \( x \), перенеся \( \frac{\pi}{3} \) в правую часть с противоположным знаком: \[ x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + \pi n \] Приведем дроби к общему знаменателю 6: \[ x = \frac{3\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} + \pi n \] \[ x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \] Ответ: \( x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \). Почему в периоде пи, а не два пи? Период \( 2\pi \) используется тогда, когда нам нужно вернуться в ту же самую точку на окружности (например, для уравнений типа \( \cos x = 1 \) или \( \sin x = 1 \)). Однако в уравнении \( \cos x = 0 \) корни находятся в точках \( \frac{\pi}{2} \) и \( \frac{3\pi}{2} \). Расстояние между этими точками составляет ровно половину окружности, то есть \( \pi \). Если мы запишем период \( 2\pi \), нам придется писать два разных решения: 1) \( \frac{\pi}{2} + 2\pi n \) 2) \( \frac{3\pi}{2} + 2\pi n \) Математически гораздо грамотнее и короче объединить эти две точки в одну формулу с периодом \( \pi \), так как они расположены симметрично относительно центра. Это стандартное правило для частных случаев, когда значение функции равно 0.