Почему в решении задач используется 2πn, а не πn? Разбираем на примере

Для того чтобы лучше понять разницу между периодами, давай разберем это на конкретных примерах и представим циферблат или круг. 1. Когда мы пишем \( 2\pi n \) (полный оборот) Это нужно тогда, когда на окружности есть только одна точка, которая нам подходит. Пример: \( \cos(x) = 1 \) Косинус равен единице только в одной точке круга — в крайней правой (где 0 градусов). Чтобы снова попасть в эту же самую точку, нам нужно пройти ровно один полный круг, то есть \( 2\pi \). Поэтому решение: \( x = 0 + 2\pi n \), или просто \( x = 2\pi n \). Здесь нельзя написать \( \pi n \), потому что через полкруга (через \( \pi \)) мы окажемся в крайней левой точке, где косинус равен \( -1 \), а это нам не подходит. 2. Когда мы пишем \( \pi n \) (пол-оборота) Это используется, когда нам подходят две точки, которые лежат на одной прямой (диаметрально противоположны). Пример из твоей задачи: \( \cos(t) = 0 \) Косинус — это координата по оси \( X \). Она равна нулю в двух точках: на самом верху ( \( \frac{\pi}{2} \) ) и в самом низу ( \( \frac{3\pi}{2} \) ). Расстояние между "верхом" и "низом" — это ровно половина круга, то есть \( \pi \). Если ты стоишь в верхней точке и сделаешь шаг длиной в \( \pi \), ты попадешь в нижнюю точку (которая тоже является решением). Сделаешь еще шаг \( \pi \) — снова вернешься в верхнюю. Поэтому, чтобы не писать две разные строчки: \[ t = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \] \[ t = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n \] Математики объединяют их в одну короткую запись: \[ t = \frac{\pi}{2} + \pi n \] Здесь \( \pi n \) как раз и говорит: "начинай с верхней точки и прыгай через каждые полкруга". Итог для тетради: Период \( 2\pi n \) используется, когда решение — это одна точка на круге. Период \( \pi n \) используется, когда решениями являются две противоположные точки (как в случае с нулем), и мы можем "допрыгнуть" от одной до другой за пол-оборота.