Решение уравнения cos(2x - π/4) = √2/2 с объяснением

Решим уравнение: \[ \cos\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \] (Примечание: в твоей записи в скобках написано \( 2k \), но в школьной программе обычно переменная — это \( x \), а \( k \) используется для обозначения целых чисел в периоде. Я решу относительно \( x \)). 1. Сначала найдем значение аргумента. Мы знаем, что по общей формуле для косинуса \( \cos(t) = a \) решение записывается как \( t = \pm \arccos(a) + 2\pi n \). Для \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) табличное значение угла — это \( \frac{\pi}{4} \). \[ 2x - \frac{\pi}{4} = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \] 2. Теперь нам нужно рассмотреть два случая: с плюсом и с минусом. Случай 1 (с плюсом): \[ 2x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \] Переносим \( \frac{\pi}{4} \) вправо: \[ 2x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n \] \[ 2x = \frac{2\pi}{4} + 2\pi n \] \[ 2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \] Делим всё уравнение на 2: \[ x_1 = \frac{\pi}{4} + \pi n \] Случай 2 (с минусом): \[ 2x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n \] Переносим \( \frac{\pi}{4} \) вправо: \[ 2x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n \] \[ 2x = 0 + 2\pi n \] Делим всё уравнение на 2: \[ x_2 = \pi n \] Ответ: \( x_1 = \frac{\pi}{4} + \pi n \); \( x_2 = \pi n, n \in \mathbb{Z} \). Объяснение: Почему здесь период \( 2\pi n \), а в прошлом примере был \( \pi n \)? В прошлом примере было \( \cos(\dots) = 0 \). Это частный случай. Ноль находится ровно посередине между максимумом и минимумом, поэтому точки на круге стоят идеально друг против друга через полкруга. В этом примере \( \cos(\dots) = \frac{\sqrt{2}}{2} \). Если ты посмотришь на окружность, то косинус (ось \( X \)) равен \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) в двух точках: одна в верхней части круга (\( 45^\circ \)), другая в нижней (\( -45^\circ \)). Между этими точками "справа" расстояние маленькое (всего \( 90^\circ \)), а "слева" — очень большое. Они стоят не на одной прямой, проходящей через центр. Поэтому мы не можем прыгнуть из одной точки в другую через равные промежутки \( \pi \). Нам приходится брать каждую точку по отдельности и возвращаться именно в неё через полный круг, то есть через \( 2\pi \). Запомни правило: 1. Если \( \cos x = 0 \), пишем \( \frac{\pi}{2} + \pi n \) (период полкруга). 2. Если \( \cos x = 1 \) или \( -1 \), пишем период \( 2\pi n \) (одна точка на круге). 3. Если \( \cos x = \) любому другому числу (как здесь \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)), пишем \( \pm \text{угол} + 2\pi n \).