Решение задачи по геометрии: построение расстояний

Ниже представлено решение задач с изображения в виде, удобном для оформления в школьной тетради. Задача 1 Дано: \(a \perp ABC\), \(M \in a\), \(O \in ABC\), \(\angle C = 90^\circ\). Построить: \(\rho(M; AC)\), \(\rho(M; BC)\). Решение: Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах (ТТП). 1. Построение \(\rho(M; AC)\): Проведем из точки \(O\) перпендикуляр \(OK \perp AC\). Так как \(MO \perp ABC\), то \(MO\) — перпендикуляр к плоскости, \(MK\) — наклонная, \(OK\) — проекция наклонной. По ТТП, так как \(OK \perp AC\), то и \(MK \perp AC\). Следовательно, отрезок \(MK\) и есть искомое расстояние \(\rho(M; AC)\). 2. Построение \(\rho(M; BC)\): Аналогично, проведем из точки \(O\) перпендикуляр \(OH \perp BC\). По ТТП, так как \(OH \perp BC\), то наклонная \(MH \perp BC\). Отрезок \(MH\) — искомое расстояние \(\rho(M; BC)\). Задача 2 Дано: \(a \perp ABC\), \(M \in a\), \(A \in ABC\), \(\triangle ABC\) — равнобедренный (\(AC=BC\)), \(\angle C = 120^\circ\). Построить: \(\rho(M; BC)\). Решение: 1. Прямая \(a\) проходит через точку \(A\), значит \(MA \perp ABC\). 2. Чтобы найти расстояние от \(M\) до прямой \(BC\), нужно опустить перпендикуляр из точки \(A\) на прямую \(BC\). Так как \(\angle ACB = 120^\circ\) (тупой), перпендикуляр \(AH\) упадет на продолжение стороны \(BC\) за точку \(C\). 3. Проведем \(AH \perp BC\) (где \(H\) лежит на продолжении \(BC\)). 4. Соединим точки \(M\) и \(H\). По теореме о трех перпендикулярах, так как \(MA \perp (ABC)\) и \(AH \perp BC\), то наклонная \(MH \perp BC\). 5. Отрезок \(MH\) является искомым расстоянием \(\rho(M; BC)\). Задача 3 Дано: \(ABCD\) — параллелограмм, \(AB=12\), \(BC=30\), \(\angle A = 30^\circ\). Прямая \(a \perp ABC\), \(M \in a\), \(MB=8\). Найти: \(\rho(M; AD)\), \(\rho(M; CD)\). Решение: Заметим, что на чертеже перпендикуляр \(a\) проходит через точку \(B\), значит \(MB \perp ABC\). 1. Нахождение \(\rho(M; AD)\): Проведем высоту параллелограмма \(BH \perp AD\). В прямоугольном \(\triangle ABH\): \[BH = AB \cdot \sin(30^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6\] По ТТП, так как \(MB \perp ABC\) и \(BH \perp AD\), то \(MH \perp AD\). Из прямоугольного \(\triangle MBH\) по теореме Пифагора: \[MH = \sqrt{MB^2 + BH^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = 10\] Ответ: \(\rho(M; AD) = 10\). 2. Нахождение \(\rho(M; CD)\): Проведем высоту \(BK \perp CD\). В параллелограмме противоположные углы равны, \(\angle D = \angle B = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ\), тогда острый угол при вершине \(C\) равен \(30^\circ\). В прямоугольном \(\triangle BCK\) (где \(K\) на прямой \(CD\)): \[BK = BC \cdot \sin(30^\circ) = 30 \cdot \frac{1}{2} = 15\] По ТТП наклонная \(MK \perp CD\). Из прямоугольного \(\triangle MBK\): \[MK = \sqrt{MB^2 + BK^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17\] Ответ: \(\rho(M; CD) = 17\).