Решение тригонометрического уравнения cos(2x - π/4) = √2/2 по шагам

На фотографии изображено тригонометрическое уравнение. Давай решим его пошагово, чтобы тебе было удобно переписать в тетрадь. Уравнение имеет вид: \[ \cos \left( 2x - \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Решение: 1. Вспомним общую формулу для решения уравнения \( \cos(t) = a \). Она выглядит так: \( t = \pm \arccos(a) + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \). 2. В нашем случае \( a = \frac{\sqrt{2}}{2} \). Мы знаем из таблицы тригонометрических значений, что \( \arccos \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \frac{\pi}{4} \). 3. Подставим выражение в скобках вместо \( t \): \[ 2x - \frac{\pi}{4} = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \] 4. Теперь нам нужно выразить \( x \). Для этого сначала перенесем \( -\frac{\pi}{4} \) в правую часть уравнения с противоположным знаком: \[ 2x = \frac{\pi}{4} \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n \] 5. Рассмотрим два случая (для плюса и для минуса): Случай 1 (с плюсом): \[ 2x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n \] \[ 2x = \frac{2\pi}{4} + 2\pi n \] \[ 2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \] Разделим всё уравнение на 2: \[ x_1 = \frac{\pi}{4} + \pi n \] Случай 2 (с минусом): \[ 2x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n \] \[ 2x = 0 + 2\pi n \] Разделим всё уравнение на 2: \[ x_2 = \pi n \] Ответ: \[ x_1 = \frac{\pi}{4} + \pi n; \quad x_2 = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \] Объяснение простыми словами: Мы ищем такой угол, косинус которого равен \( \frac{\sqrt{2}}{2} \). По таблице это углы \( 45^\circ \) (или \( \frac{\pi}{4} \)) и \( -45^\circ \). Так как косинус повторяется через каждый полный круг, мы добавляем \( 2\pi n \). Затем мы просто решаем обычное уравнение, чтобы "освободить" \( x \) от коэффициентов и дробей, которые стояли рядом с ним внутри косинуса.