Решение предела через разложение Тейлора

Для решения данного предела воспользуемся разложением функций в ряд Тейлора (точнее, формулой Маклорена) в окрестности точки \(x = 0\). Основная формула, которую мы будем использовать: \[(1 + t)^\alpha = 1 + \alpha t + \frac{\alpha(\alpha - 1)}{2} t^2 + o(t^2)\] Запишем исходный предел: \[L = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{1 + 2x^2 + x^3} - \sqrt[4]{1 + \frac{x^2}{2} + 10x^4}}{\sqrt[4]{1 + 6x^2 + x^4} - \sqrt[3]{1 + 21x^2 + x^5}}\] Разложим каждый корень по отдельности до \(x^2\), так как это наименьшая степень переменной в числителе и знаменателе (слагаемые с более высокими степенями уйдут в \(o(x^2)\)): 1) Для первого корня в числителе (\(\alpha = 1/3\)): \[\sqrt[3]{1 + 2x^2 + x^3} = (1 + (2x^2 + x^3))^{1/3} = 1 + \frac{1}{3}(2x^2 + x^3) + o(x^2) = 1 + \frac{2}{3}x^2 + o(x^2)\] 2) Для второго корня в числителе (\(\alpha = 1/4\)): \[\sqrt[4]{1 + \frac{x^2}{2} + 10x^4} = (1 + (\frac{x^2}{2} + 10x^4))^{1/4} = 1 + \frac{1}{4}(\frac{x^2}{2} + 10x^4) + o(x^2) = 1 + \frac{1}{8}x^2 + o(x^2)\] 3) Для первого корня в знаменателе (\(\alpha = 1/4\)): \[\sqrt[4]{1 + 6x^2 + x^4} = (1 + (6x^2 + x^4))^{1/4} = 1 + \frac{1}{4}(6x^2 + x^4) + o(x^2) = 1 + \frac{6}{4}x^2 + o(x^2) = 1 + \frac{3}{2}x^2 + o(x^2)\] 4) Для второго корня в знаменателе (\(\alpha = 1/3\)): \[\sqrt[3]{1 + 21x^2 + x^5} = (1 + (21x^2 + x^5))^{1/3} = 1 + \frac{1}{3}(21x^2 + x^5) + o(x^2) = 1 + 7x^2 + o(x^2)\] Теперь подставим полученные разложения в предел: \[L = \lim_{x \to 0} \frac{(1 + \frac{2}{3}x^2 + o(x^2)) - (1 + \frac{1}{8}x^2 + o(x^2))}{(1 + \frac{3}{2}x^2 + o(x^2)) - (1 + 7x^2 + o(x^2))}\] Упростим числитель и знаменатель, сократив единицы: \[L = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{3}x^2 - \frac{1}{8}x^2 + o(x^2)}{\frac{3}{2}x^2 - 7x^2 + o(x^2)}\] Приведем дроби к общему знаменателю: В числителе: \(\frac{2}{3} - \frac{1}{8} = \frac{16 - 3}{24} = \frac{13}{24}\) В знаменателе: \(\frac{3}{2} - 7 = \frac{3 - 14}{2} = -\frac{11}{2}\) Получаем: \[L = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{13}{24}x^2 + o(x^2)}{-\frac{11}{2}x^2 + o(x^2)}\] Разделим числитель и знаменатель на \(x^2\): \[L = \frac{\frac{13}{24}}{-\frac{11}{2}} = -\frac{13}{24} \cdot \frac{2}{11} = -\frac{13}{12 \cdot 11} = -\frac{13}{132}\] Ответ: \(-\frac{13}{132}\)