Решение заданий 2 части ОГЭ по математике

Вторая часть ОГЭ по математике (задания 20–25) требует развернутого решения. Ниже приведены типовые задачи, которые наиболее часто встречаются в экзаменационных вариантах, с оформлением, подходящим для записи в тетрадь. Задание 20 (Алгебраическое выражение) Условие: Решите уравнение: \[ x^4 = (2x - 15)^2 \] Решение: Перенесем все слагаемые в левую часть: \[ x^4 - (2x - 15)^2 = 0 \] Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \): \[ (x^2 - (2x - 15))(x^2 + (2x - 15)) = 0 \] \[ (x^2 - 2x + 15)(x^2 + 2x - 15) = 0 \] Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: 1) \( x^2 - 2x + 15 = 0 \) Найдем дискриминант: \[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 4 - 60 = -56 \] Так как \( D < 0 \), корней нет. 2) \( x^2 + 2x - 15 = 0 \) По теореме Виета: \[ x_1 + x_2 = -2 \] \[ x_1 \cdot x_2 = -15 \] Получаем корни: \[ x_1 = -5, x_2 = 3 \] Ответ: -5; 3. Задание 21 (Текстовая задача) Условие: Рыболов в 5:00 отправился на моторной лодке против течения реки, через некоторое время бросил якорь, 2 часа ловил рыбу и вернулся обратно в 10:00. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки 2 км/ч, а расстояние, которое он проплыл, составило 6 км в одну сторону. Решение: Пусть \( x \) км/ч — собственная скорость лодки. Тогда: \( x + 2 \) км/ч — скорость по течению; \( x - 2 \) км/ч — скорость против течения. Общее время в пути (без учета стоянки): \[ 10:00 - 5:00 - 2 \text{ часа} = 3 \text{ часа} \] Составим уравнение времени: \[ \frac{6}{x-2} + \frac{6}{x+2} = 3 \] Разделим обе части на 3: \[ \frac{2}{x-2} + \frac{2}{x+2} = 1 \] Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{2(x+2) + 2(x-2)}{(x-2)(x+2)} = 1 \] \[ \frac{2x + 4 + 2x - 4}{x^2 - 4} = 1 \] \[ \frac{4x}{x^2 - 4} = 1 \Rightarrow x^2 - 4 = 4x \] \[ x^2 - 4x - 4 = 0 \] Решим через дискриминант: \[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 16 + 16 = 32 \] \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{4 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{2} \] Так как скорость должна быть положительной, \( x = 2 + 2\sqrt{2} \). (Примечание: В ОГЭ обычно подбираются целые числа, здесь приведен алгоритм решения). Ответ: \( 2 + 2\sqrt{2} \) км/ч. Задание 23 (Геометрия на вычисление) Условие: Катеты прямоугольного треугольника равны 12 и 16. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе. Решение: Пусть \( a = 12 \), \( b = 16 \). 1) Найдем гипотенузу \( c \) по теореме Пифагора: \[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20 \] 2) Площадь прямоугольного треугольника можно найти двумя способами: \[ S = \frac{1}{2} a \cdot b \text{ и } S = \frac{1}{2} c \cdot h \] Приравняем их: \[ a \cdot b = c \cdot h \] \[ 12 \cdot 16 = 20 \cdot h \] \[ 192 = 20h \] \[ h = \frac{192}{20} = 9,6 \] Ответ: 9,6. Задание 24 (Геометрия на доказательство) Условие: В параллелограмме \( ABCD \) точка \( E \) — середина стороны \( AB \). Известно, что \( EC = ED \). Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник. Доказательство: 1) Рассмотрим треугольники \( BEC \) и \( AED \). 2) В них: \( BE = AE \) (так как \( E \) — середина \( AB \)); \( BC = AD \) (противоположные стороны параллелограмма); \( EC = ED \) (по условию). 3) Следовательно, \( \triangle BEC = \triangle AED \) по третьему признаку (по трем сторонам). 4) Из равенства треугольников следует равенство углов: \( \angle B = \angle A \). 5) Так как \( ABCD \) — параллелограмм, сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна \( 180^\circ \): \[ \angle A + \angle B = 180^\circ \] 6) Так как \( \angle A = \angle B \), то \( 2\angle A = 180^\circ \), откуда \( \angle A = 90^\circ \). 7) Параллелограмм, у которого есть прямой угол, является прямоугольником. Что и требовалось доказать.