Решение задачи Китайская шкатулка 4x4

Задача: Китайская шкатулка Условие: Нужно расставить фишки в сетке \(4 \times 4\) так, чтобы сумма чисел в каждой строке соответствовала числу слева, а сумма в каждом столбце — числу сверху. Числа слева (суммы строк): \(2, 3, 1, 9\). Числа сверху (суммы столбцов): \(2, 8, 1, 4\). В наличии фишки номиналом от \(1\) до \(4\). Решение: Для удобства представим поле в виде таблицы, где \(R\) — номер строки, \(C\) — номер столбца. 1. Рассмотрим третью строку и третий столбец. Сумма в третьей строке равна \(1\). Значит, там может стоять только одна фишка \(1\). Сумма в третьем столбце равна \(1\). Значит, там тоже может стоять только одна фишка \(1\). Единственное место, которое удовлетворяет обоим условиям — это пересечение третьей строки и третьего столбца. Ставим фишку \(1\) в ячейку \((R3, C3)\). Остальные клетки в этой строке и этом столбце будут пустыми (нули). 2. Рассмотрим четвертую строку. Сумма должна быть равна \(9\). У нас осталось три свободные клетки (так как \(C3\) занят нулем). Чтобы получить \(9\) из трех клеток, используя фишки до \(4\), возможен только один вариант: \[ 4 + 4 + 1 = 9 \] или \[ 3 + 3 + 3 = 9 \] Посмотрим на столбцы. Во втором столбце сумма \(8\). В четвертом — \(4\). В первом — \(2\). Распределим фишки в четвертой строке так: В \((R4, C1)\) ставим \(1\). В \((R4, C2)\) ставим \(4\). В \((R4, C4)\) ставим \(4\). Проверка строки: \(1 + 4 + 0 + 4 = 9\). Верно. 3. Рассмотрим второй столбец. Сумма должна быть \(8\). Мы уже поставили \(4\) в нижнюю клетку. Нужно добрать еще \(4\). В первой строке сумма всего \(2\), во второй \(3\). Поставим во вторую строку \((R2, C2)\) фишку \(3\), а в первую \((R1, C2)\) фишку \(1\). Проверка столбца: \(1 + 3 + 0 + 4 = 8\). Верно. 4. Заполним оставшиеся клетки. Первая строка: сумма \(2\). У нас уже есть \(1\) в \(C2\). Ставим \(1\) в \((R1, C1)\). Проверка строки: \(1 + 1 + 0 + 0 = 2\). Верно. Вторая строка: сумма \(3\). У нас уже есть \(3\) в \(C2\). Остальные клетки — нули. Проверка строки: \(0 + 3 + 0 + 0 = 3\). Верно. Итоговая расстановка фишек по ячейкам: Строка 1: \(1, 1, 0, 0\) (Сумма \(2\)) Строка 2: \(0, 3, 0, 0\) (Сумма \(3\)) Строка 3: \(0, 0, 1, 0\) (Сумма \(1\)) Строка 4: \(1, 4, 0, 4\) (Сумма \(9\)) Проверка по столбцам: Столбец 1: \(1 + 0 + 0 + 1 = 2\) (Верно) Столбец 2: \(1 + 3 + 0 + 4 = 8\) (Верно) Столбец 3: \(0 + 0 + 1 + 0 = 1\) (Верно) Столбец 4: \(0 + 0 + 0 + 4 = 4\) (Верно) Ответ (координаты и номинал фишек): 1-я строка: фишка \(1\) в 1-й столбец, фишка \(1\) во 2-й столбец. 2-я строка: фишка \(3\) во 2-й столбец. 3-я строка: фишка \(1\) в 3-й столбец. 4-я строка: фишка \(1\) в 1-й столбец, фишка \(4\) во 2-й столбец, фишка \(4\) в 4-й столбец.