Решение задачи: Криволинейный интеграл 1-го рода

Определение криволинейного интеграла 1-го рода Пусть на плоскости задана гладкая кривая \( L \), ограниченная точками \( A \) и \( B \), и на этой кривой определена непрерывная функция \( f(x, y) \). Разобьем кривую \( L \) произвольным образом на \( n \) элементарных дуг точками \( M_0, M_1, ..., M_n \), где \( M_0 = A \), а \( M_n = B \). Длину каждой такой дуги обозначим через \( \Delta l_i \). На каждой элементарной дуге выберем произвольную точку \( P_i(x_i, y_i) \) и составим интегральную сумму: \[ S_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i, y_i) \cdot \Delta l_i \] Криволинейным интегралом первого рода от функции \( f(x, y) \) по длине кривой \( L \) называется предел интегральной суммы при условии, что максимальная из длин элементарных дуг \( \lambda = \max(\Delta l_i) \) стремится к нулю: \[ \int_L f(x, y) \, dl = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(x_i, y_i) \cdot \Delta l_i \] Основные свойства и особенности: 1. Если функция \( f(x, y) = 1 \), то интеграл равен длине кривой \( L \): \[ l = \int_L dl \] 2. Криволинейный интеграл 1-го рода не зависит от направления обхода кривой: \[ \int_{AB} f(x, y) \, dl = \int_{BA} f(x, y) \, dl \] 3. Физический смысл: если \( f(x, y) \) — это линейная плотность материальной кривой, то интеграл определяет массу этой кривой. Вычисление (через параметрическое задание кривой): Если кривая задана уравнениями \( x = x(t) \), \( y = y(t) \), где \( t \in [\alpha, \beta] \), то: \[ \int_L f(x, y) \, dl = \int_{\alpha}^{\beta} f(x(t), y(t)) \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2} \, dt \]