4.1 Задание к контрольной работе №1
Для электрической схемы, соответствующей номеру варианта, выполнить следующее: 1. Составить на основании законов Кирхгофа систему уравнений для расчета токов во всех ветвях схемы. 2. Определить токи во всех ветвях схемы методом контурных токов. 3. Определить токи во всех ветвях схемы методом узловых потенциалов.Исходные данные:
R1 = 390 Ом
R2 = 60 Ом
R3 = 90 Ом
R4 = 120 Ом
R5 = 165 Ом
R6 = 67,5 Ом
E1 = 37,5 В
E2 = 10,2 В
IK1 = 0,04 А
IK2 = 0 А
Решение:
1. Составление системы уравнений на основании законов Кирхгофа
Для начала пронумеруем ветви и узлы схемы, а также выберем произвольные направления токов в ветвях. В данной схеме 4 узла (a, b, c, d) и 6 ветвей. Количество независимых уравнений по первому закону Кирхгофа: \(N_{узлов} - 1 = 4 - 1 = 3\). Количество независимых уравнений по второму закону Кирхгофа: \(N_{ветвей} - (N_{узлов} - 1) = 6 - 3 = 3\). Всего 6 уравнений для 6 неизвестных токов.Первый закон Кирхгофа (для узлов):
Выберем узел 'd' в качестве базисного (с нулевым потенциалом). Узел 'a' (левый верхний, где IK1): \(I_{K1} - I_1 - I_5 = 0\) (1) Узел 'b': \(I_1 - I_2 - I_3 = 0\) (2) Узел 'c': \(I_3 + I_4 - I_6 = 0\) (3)Второй закон Кирхгофа (для контуров):
Выберем три независимых контура. Контур 1 (левый): a-b-d-a \(E_1 - I_1 R_1 - I_5 R_5 = 0\) (4) Контур 2 (верхний): b-m-c-b (через IK2 и E2) \(I_2 R_2 + E_2 - I_3 R_3 = 0\) (5) Контур 3 (нижний): d-c-m-d (через R6, R4, E2) \(I_5 R_5 - I_6 R_6 - I_4 R_4 = 0\) (6)Система уравнений:
1. \(I_{K1} - I_1 - I_5 = 0\) 2. \(I_1 - I_2 - I_3 = 0\) 3. \(I_3 + I_4 - I_6 = 0\) 4. \(E_1 - I_1 R_1 - I_5 R_5 = 0\) 5. \(I_2 R_2 + E_2 - I_3 R_3 = 0\) 6. \(I_5 R_5 - I_6 R_6 - I_4 R_4 = 0\) Это система из 6 линейных уравнений с 6 неизвестными токами \(I_1, I_2, I_3, I_4, I_5, I_6\).2. Определение токов методом контурных токов
Метод контурных токов основан на втором законе Кирхгофа. Выбираем независимые контуры и назначаем в них контурные токи. Количество контурных токов равно количеству независимых контуров. В нашем случае это 3 контура.Выберем контуры и направления контурных токов:
Контур I: a-b-d-a (по часовой стрелке, контурный ток \(I_{кI}\)) Контур II: b-m-c-b (по часовой стрелке, контурный ток \(I_{кII}\)) Контур III: d-c-m-d (по часовой стрелке, контурный ток \(I_{кIII}\))Составим уравнения для контурных токов:
Для каждого контура сумма произведений токов на сопротивления в этом контуре равна сумме ЭДС в этом контуре.Уравнение для контура I:
\(I_{кI} (R_1 + R_5) - I_{кII} R_1 - I_{кIII} R_5 = E_1 - I_{K1} R_1\) (Здесь учтено, что источник тока \(I_{K1}\) создает падение напряжения \(I_{K1} R_1\) в ветви с \(R_1\), если он направлен против контурного тока. В данном случае, если \(I_{K1}\) направлен вверх, а \(I_{кI}\) проходит через \(R_1\) вниз, то это будет \(+I_{K1} R_1\). Но удобнее преобразовать источники тока в источники напряжения. Или же, если источник тока находится в одной из ветвей, то ток этой ветви известен. В нашей схеме источник тока \(I_{K1}\) находится в ветви с \(R_1\). Это усложняет применение метода контурных токов напрямую. Давайте преобразуем источники тока в источники напряжения, где это возможно, или учтем их как известные токи.)Преобразование источников:
Источник тока \(I_{K1}\) параллельно с \(R_1\) и последовательно с \(E_1\) можно преобразовать. Ветвь с \(I_{K1}\) и \(R_1\): Ток в этой ветви \(I_1\) (по направлению от 'a' к 'b'). Если \(I_{K1}\) направлен вверх, а \(I_1\) вниз, то \(I_1 = I_{K1}\). Но в схеме \(I_{K1}\) - это источник тока, который задает ток в ветви. Давайте перерисуем схему, чтобы было понятнее. Ветвь между узлами 'a' и 'b' содержит \(R_1\), \(E_1\) и \(I_{K1}\). Ток \(I_1\) течет от 'a' к 'b'. По первому закону Кирхгофа для узла 'a': \(I_{K1} - I_1 - I_5 = 0\). Это означает, что \(I_1 = I_{K1} - I_5\).Уточнение метода контурных токов для схемы с источниками тока:
Если источник тока находится в ветви, которая не является общей для двух контуров, то ток в этой ветви известен. Если источник тока находится в общей ветви, то это усложняет. В нашей схеме \(I_{K1}\) находится в ветви с \(R_1\) и \(E_1\). \(I_{K2}\) находится в ветви с \(R_2\).Давайте используем метод контурных токов, учитывая источники тока:
1. Ветвь с \(I_{K1}\) и \(R_1\), \(E_1\). Ток в этой ветви \(I_1\). 2. Ветвь с \(I_{K2}\) и \(R_2\). Ток в этой ветви \(I_2\). По условию \(I_{K2} = 0\). Это означает, что ветвь с \(R_2\) и \(I_{K2}\) содержит только \(R_2\). Тогда \(I_2\) - это ток через \(R_2\).Переопределим контуры, чтобы избежать источников тока в общих ветвях, если это возможно.
Или же, если источник тока находится в ветви, то ток этой ветви известен. Ветвь с \(I_{K1}\) и \(R_1\), \(E_1\). Ток в этой ветви \(I_1\). Ветвь с \(I_{K2}\) и \(R_2\). Ток в этой ветви \(I_2\). Поскольку \(I_{K2} = 0\), то ветвь с \(R_2\) не содержит источника тока.Давайте преобразуем источник тока \(I_{K1}\) и параллельный ему \(R_1\) в эквивалентный источник напряжения.
Эквивалентная ЭДС: \(E'_{1} = I_{K1} R_1\). Эквивалентное сопротивление: \(R'_{1} = R_1\). Но это преобразование делается, когда источник тока параллелен сопротивлению. В нашей схеме \(I_{K1}\) последовательно с \(R_1\) и \(E_1\). Это не совсем так. \(I_{K1}\) - это источник тока, который задает ток в ветви. Давайте рассмотрим ветви: Ветвь 1: \(R_1\), \(E_1\), \(I_{K1}\). Ток \(I_1\). Ветвь 2: \(R_2\), \(I_{K2}\). Ток \(I_2\). Ветвь 3: \(R_3\). Ток \(I_3\). Ветвь 4: \(R_4\). Ток \(I_4\). Ветвь 5: \(R_5\). Ток \(I_5\). Ветвь 6: \(R_6\). Ток \(I_6\).Упростим схему, учитывая \(I_{K2} = 0\).
Это означает, что источник тока \(I_{K2}\) отсутствует, и в ветви с \(R_2\) течет обычный ток \(I_2\).Метод контурных токов (с учетом источников тока):
Выберем 3 независимых контура. Контур I: a-b-d-a (включает \(R_1, E_1, R_5\)) Контур II: b-m-c-b (включает \(R_2, E_2, R_3\)) Контур III: d-c-m-d (включает \(R_5, R_6, R_4, E_2\))Назначим контурные токи:
\(I_{кI}\) - по часовой стрелке в контуре a-b-d-a \(I_{кII}\) - по часовой стрелке в контуре b-m-c-b \(I_{кIII}\) - по часовой стрелке в контуре d-c-m-dВыразим токи ветвей через контурные токи:
\(I_1 = I_{кI} - I_{K1}\) (если \(I_{K1}\) направлен против \(I_{кI}\) в ветви с \(R_1\)) В схеме \(I_{K1}\) направлен вверх, а \(I_1\) вниз. Давайте пересмотрим. Источник тока \(I_{K1}\) задает ток в ветви. Если источник тока находится в ветви, то ток этой ветви известен. Но \(I_{K1}\) не находится в отдельной ветви. Он параллелен \(R_1\). Это означает, что ток через \(R_1\) равен \(I_1\), а ток источника \(I_{K1}\) добавляется к току, который течет через узел 'a'.Давайте преобразуем источник тока \(I_{K1}\) и параллельный ему \(R_1\) в эквивалентный источник напряжения.
Эквивалентная ЭДС: \(E'_{1} = I_{K1} R_1\). Эквивалентное сопротивление: \(R'_{1} = R_1\). Но в схеме \(E_1\) уже есть. Давайте рассмотрим ветвь между узлами 'a' и 'b'. Она содержит \(R_1\), \(E_1\) и источник тока \(I_{K1}\). Это не стандартное включение. Предположим, что \(I_{K1}\) - это ток, который входит в узел 'a'. Тогда для узла 'a': \(I_{K1} - I_1 - I_5 = 0\). Это означает, что \(I_1 = I_{K1} - I_5\).Давайте использовать метод контурных токов, но с учетом того, что источники тока могут быть преобразованы или учтены.
Преобразуем источник тока \(I_{K1}\) и параллельный ему \(R_1\) в источник напряжения. Ветвь между узлами 'a' и 'b' содержит \(R_1\), \(E_1\). Параллельно этой ветви подключен источник тока \(I_{K1}\). Это означает, что ток, который течет через \(R_1\) и \(E_1\), равен \(I_1\). А ток \(I_{K1}\) - это ток, который входит в узел 'a'.Давайте перерисуем схему, чтобы было понятнее.
Узел 'a' - это точка, куда приходит \(I_{K1}\). Ветвь 1: между 'a' и 'b', содержит \(R_1\) и \(E_1\). Ток \(I_1\). Ветвь 2: между 'b' и 'm', содержит \(R_2\). Ток \(I_2\). Ветвь 3: между 'b' и 'c', содержит \(R_3\). Ток \(I_3\). Ветвь 4: между 'd' и 'c', содержит \(R_4\). Ток \(I_4\). Ветвь 5: между 'a' и 'd', содержит \(R_5\). Ток \(I_5\). Ветвь 6: между 'd' и 'c', содержит \(R_6\). Ток \(I_6\). Источник \(E_2\) находится между 'm' и 'c'.Уточненная схема:
Узел 'a' - это точка, куда приходит \(I_{K1}\). Ветвь 1: \(R_1\), \(E_1\). Ток \(I_1\). Ветвь 2: \(R_2\). Ток \(I_2\). Ветвь 3: \(R_3\). Ток \(I_3\). Ветвь 4: \(R_4\). Ток \(I_4\). Ветвь 5: \(R_5\). Ток \(I_5\). Ветвь 6: \(R_6\). Ток \(I_6\). Источники: \(E_1\), \(E_2\), \(I_{K1}\).Применим метод контурных токов.
Количество независимых контуров: \(N_{ветвей} - (N_{узлов} - 1) = 6 - (4 - 1) = 3\). Выберем 3 контура: Контур I: a-b-d-a (включает \(R_1, E_1, R_5\)) Контур II: b-m-c-b (включает \(R_2, E_2, R_3\)) Контур III: