Определение опасных сечений вала при кручении

Задача по сопротивлению материалов: Определение опасных сечений вала при кручении. Дано: Вал жестко защемлен в сечении С. На вал действуют: 1. Сосредоточенный крутящий момент \( M_1 = 3m \) в середине вала. 2. Распределенный крутящий момент интенсивностью \( m_z = 3m \) на правом участке вала длиной \( a \). Длина первого участка (от заделки до сосредоточенного момента) равна \( a \). Длина второго участка (с распределенной нагрузкой) равна \( a \). Решение: 1. Определение реактивного момента в заделке С. Используем уравнение равновесия вала (сумма моментов относительно оси вала равна нулю): \[ \sum M = 0 \] \[ M_C + M_1 - \int_{0}^{a} m_z dz = 0 \] Подставим значения: \[ M_C + 3m - (3m \cdot a) = 0 \] Отсюда реактивный момент в заделке: \[ M_C = 3ma - 3m \] Если принять, что \( m \) — это момент на единицу длины, то для упрощения школьной записи часто полагают \( M_1 = 3m \cdot a \). В данном случае, исходя из размерностей на схеме, сосредоточенный момент \( M_1 = 3m \), а распределенный дает суммарный момент \( 3m \cdot a \). 2. Построение эпюры крутящих моментов \( M_z \). Разобьем вал на два участка, начиная с правого свободного конца (точка \( z = 0 \)). Участок 1 (правый, \( 0 \le z \le a \)): Крутящий момент в произвольном сечении определяется распределенной нагрузкой: \[ M_z(z) = m_z \cdot z = 3m \cdot z \] В точке \( z = 0 \) (правый край): \( M_z = 0 \). В точке \( z = a \) (середина вала): \( M_z = 3ma \). Участок 2 (левый, \( a \le z \le 2a \)): К моменту от распределенной нагрузки добавляется сосредоточенный момент \( M_1 \): \[ M_z(z) = 3ma + 3m \] На всем этом участке крутящий момент постоянен. 3. Определение опасных сечений. Опасными называются сечения, в которых крутящий момент достигает максимального по модулю значения, так как именно там возникают наибольшие касательные напряжения. Сравним значения: На первом участке максимум в точке \( z = a \): \( |M_{max1}| = 3ma \). На втором участке значение постоянно: \( |M_{max2}| = 3ma + 3m \). Очевидно, что \( 3ma + 3m > 3ma \). Вывод: Опасными сечениями являются все сечения на левом участке вала (от заделки С до точки приложения сосредоточенного момента), так как в них крутящий момент максимален и неизменен. Наиболее критическим традиционно считается сечение в самой заделке С. Ответ: Опасным является левый участок вала длиной \( a \), примыкающий к заделке С.