Определитель линейной зависимости/независимости функций y1=cos²2x, y2=sin²2x, y3=cos4x

Для определения линейной зависимости или независимости системы функций \( y_1, y_2, y_3 \) воспользуемся определителем Вронского (вронскианом). Однако в данном случае проще и нагляднее применить метод исследования линейной комбинации функций через тригонометрические тождества. Дано: \( y_1 = \cos^2 2x \) \( y_2 = \sin^2 2x \) \( y_3 = \cos 4x \) Решение: 1. Вспомним основные тригонометрические формулы: Основное тождество: \( \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 \) Формула косинуса двойного угла: \( \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \) 2. Применим формулу косинуса двойного угла для функции \( y_3 \), где аргумент \( 4x = 2 \cdot (2x) \): \[ y_3 = \cos 4x = \cos^2 2x - \sin^2 2x \] 3. Заметим, что функцию \( y_3 \) можно выразить через функции \( y_1 \) и \( y_2 \): \[ y_3 = y_1 - y_2 \] 4. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить линейную комбинацию, равную нулю: \[ 1 \cdot y_1 + (-1) \cdot y_2 + (-1) \cdot y_3 = 0 \] 5. Определение линейной зависимости гласит: если существует нетривиальная (где не все коэффициенты равны нулю) линейная комбинация функций, равная нулю, то функции называются линейно зависимыми (ЛЗ). В нашем случае коэффициенты \( \alpha_1 = 1 \), \( \alpha_2 = -1 \), \( \alpha_3 = -1 \). Так как они не равны нулю одновременно, функции зависимы. 6. Проверка через определитель Вронского (для подтверждения): Если функции линейно зависимы на промежутке, то их определитель Вронского \( W(x) \) тождественно равен нулю. \[ W(x) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 & y_3 \\ y_1' & y_2' & y_3' \\ y_1'' & y_2'' & y_3'' \end{vmatrix} \] Так как \( y_3 = y_1 - y_2 \), то третья колонка определителя является разностью первой и второй. По свойствам определителей, если один столбец является линейной комбинацией других, то определитель равен нулю. \[ W(x) \equiv 0 \] Ответ: Функции \( y_1, y_2, y_3 \) являются линейно зависимыми (ЛЗ).