Решение задачи: y1=cos²2x, y2=sin²2x, y3=cos4x - Найти площадь фигуры

Для нахождения площади заштрихованной фигуры \( S_D \) необходимо разбить область на несколько простых геометрических фигур или вычислить площадь через определенные интегралы. Исходя из чертежа, область состоит из трех частей. 1. Левая часть (четверть круга): Фигура в границах от \( x = -11 \) до \( x = 0 \). Это четверть круга с радиусом \( R = 11 \). Площадь круга вычисляется по формуле \( \pi R^2 \). \[ S_1 = \frac{1}{4} \pi R^2 = \frac{1}{4} \pi \cdot 11^2 = \frac{121\pi}{4} \approx 95.03 \] 2. Средняя часть (трапеция): Фигура в границах от \( x = 0 \) до \( x = 5 \). Сверху она ограничена прямой, соединяющей точки \( (0; 11) \) и \( (5; 3) \). Найдем уравнение этой прямой: \( y - 11 = \frac{3 - 11}{5 - 0}(x - 0) \), что дает \( y = -1.6x + 11 \). Площадь этой части (трапеции): \[ S_2 = \frac{11 + 3}{2} \cdot 5 = \frac{14}{2} \cdot 5 = 7 \cdot 5 = 35 \] 3. Правая часть (трапеция и прямоугольник): Фигура в границах от \( x = 5 \) до \( x = 8 \). Верхняя граница — прямая от \( (5; 3) \) до \( (8; 0) \). Уравнение: \( y - 0 = \frac{3 - 0}{5 - 8}(x - 8) \), что дает \( y = -x + 8 \). Площадь треугольника над осью \( Ox \): \[ S_{3a} = \frac{1}{2} \cdot (8 - 5) \cdot 3 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = 4.5 \] Нижняя часть — прямоугольник под осью \( Ox \) от \( x = 0 \) до \( x = 8 \) высотой \( 4 \). \[ S_{3b} = 8 \cdot 4 = 32 \] Итоговая площадь: Сложим все полученные части. \[ S_D = S_1 + S_2 + S_{3a} + S_{3b} \] \[ S_D = \frac{121\pi}{4} + 35 + 4.5 + 32 \] \[ S_D = \frac{121\pi}{4} + 71.5 \] Если принять \( \pi \approx 3.14 \): \[ S_D \approx 95.03 + 71.5 = 166.53 \] Запись через двойной интеграл, как запрашивалось на листке: \[ S_D = \iint\limits_D dx dy = \int_{-11}^{0} dx \int_{0}^{\sqrt{121-x^2}} dy + \int_{0}^{5} dx \int_{-4}^{-1.6x+11} dy + \int_{5}^{8} dx \int_{-4}^{-x+8} dy \] Ответ: \( S_D = \frac{121\pi}{4} + 71.5 \) кв. единиц.