Решение задачи по физике: Конденсаторы

Контрольные вопросы: 1. Почему схлопываются пластины плоского конденсатора, предоставленные самим себе? Ответ: Пластины плоского конденсатора имеют разноименные заряды (положительный и отрицательный). Согласно закону Кулона, разноименные заряды притягиваются друг к другу. Если пластины не закреплены, под действием силы электростатического притяжения они начнут сближаться до полного соприкосновения (схлопывания). 2. Какие физические величины сохраняются при последовательном соединении конденсаторов? Как находится эквивалентная электроемкость при последовательном соединении? Ответ: При последовательном соединении на всех конденсаторах сохраняется одинаковый заряд: \( q = q_1 = q_2 = ... = q_n \). Величина, обратная эквивалентной емкости, равна сумме величин, обратных емкостям отдельных конденсаторов: \[ \frac{1}{C_{экв}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + ... + \frac{1}{C_n} \] 3. Какие физические величины сохраняются при параллельном соединении конденсаторов? Чему равна эквивалентная электроемкость при параллельном соединении конденсаторов? Ответ: При параллельном соединении на всех конденсаторах сохраняется одинаковое напряжение (разность потенциалов): \( U = U_1 = U_2 = ... = U_n \). Эквивалентная электроемкость равна сумме емкостей всех конденсаторов: \[ C_{экв} = C_1 + C_2 + ... + C_n \] 4. От каких величин зависит энергия электростатического поля, запасенная конденсатором? Ответ: Энергия конденсатора зависит от его электроемкости \( C \), заряда \( q \) и напряжения \( U \) между пластинами. Она определяется формулами: \[ W = \frac{qU}{2} = \frac{CU^2}{2} = \frac{q^2}{2C} \] 5. Приведите примеры использования энергии электрического поля. Ответ: Энергия электрического поля используется в фотовспышках, лазерах, дефибрилляторах, радиоприемниках (в колебательных контурах), а также в современных системах бесперебойного питания и электромобилях (суперконденсаторы). Россия активно развивает технологии накопления энергии, что важно для энергетической независимости страны. Задачи: А1. Дано: \( q_1 = 1 \cdot 10^{-6} \) Кл \( q_2 = 10 \cdot 10^{-9} \) Кл \( F = 9 \cdot 10^{-3} \) Н \( k = 9 \cdot 10^9 \) Н·м²/Кл² Найти: \( r \) — ? Решение: Согласно закону Кулона: \[ F = k \frac{q_1 q_2}{r^2} \] Отсюда выразим расстояние: \[ r = \sqrt{\frac{k q_1 q_2}{F}} \] Подставим значения: \[ r = \sqrt{\frac{9 \cdot 10^9 \cdot 1 \cdot 10^{-6} \cdot 10 \cdot 10^{-9}}{9 \cdot 10^{-3}}} = \sqrt{\frac{9 \cdot 10^{-5}}{9 \cdot 10^{-3}}} = \sqrt{10^{-2}} = 0,1 \text{ м} \] Ответ: \( r = 10 \text{ см} \). А5. Дано: \( a = 1 \) м \( q_1 = q_2 = 2 \cdot 10^{-10} \) Кл Найти: \( E_{рез} \) — ? Решение: Точка пересечения диагоналей находится на одинаковом расстоянии от всех вершин. Расстояние от вершины до центра: \[ r = \frac{a\sqrt{2}}{2} \] Напряженность поля от одного заряда: \[ E = k \frac{q}{r^2} \] Векторы напряженности \( \vec{E_1} \) и \( \vec{E_2} \) от двух соседних зарядов в центре квадрата направлены вдоль диагоналей от зарядов. Угол между ними составляет 90 градусов. \[ E_1 = E_2 = \frac{9 \cdot 10^9 \cdot 2 \cdot 10^{-10}}{(1 \cdot \sqrt{2} / 2)^2} = \frac{1,8}{0,5} = 3,6 \text{ В/м} \] Результирующая напряженность по теореме Пифагора: \[ E_{рез} = \sqrt{E_1^2 + E_2^2} = E_1\sqrt{2} = 3,6 \cdot 1,41 \approx 5,08 \text{ В/м} \] Ответ: \( E_{рез} \approx 5,08 \text{ В/м} \). А8. Дано: \( d = 20 \text{ см} = 0,2 \text{ м} \) \( \Delta d = 1 \text{ мм} = 10^{-3} \text{ м} \) \( \varepsilon = 2,2 \) (парафин) \( \varepsilon_0 = 8,85 \cdot 10^{-12} \) Ф/м Найти: \( C \) — ? Решение: Площадь круглой пластины: \[ S = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{3,14 \cdot 0,2^2}{4} = 0,0314 \text{ м}^2 \] Емкость плоского конденсатора: \[ C = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{\Delta d} \] \[ C = \frac{2,2 \cdot 8,85 \cdot 10^{-12} \cdot 0,0314}{10^{-3}} \approx 6,11 \cdot 10^{-10} \text{ Ф} \] Ответ: \( C \approx 611 \text{ пФ} \). В1. Дано: \( q_1 = q_2 = 2 \cdot 10^{-10} \) Кл \( L = 0,2 \text{ м} \) \( r = 0,15 \text{ м} \) Найти: \( E_{рез} \) — ? Решение: Напряженность от каждого заряда: \[ E_1 = E_2 = k \frac{q}{r^2} = \frac{9 \cdot 10^9 \cdot 2 \cdot 10^{-10}}{0,15^2} = \frac{1,8}{0,0225} = 80 \text{ В/м} \] Треугольник, образованный зарядами и точкой, равнобедренный. Найдем косинус угла \( \alpha \) между вектором \( E \) и высотой треугольника: \[ \cos \alpha = \frac{\sqrt{r^2 - (L/2)^2}}{r} = \frac{\sqrt{0,15^2 - 0,1^2}}{0,15} = \frac{\sqrt{0,0125}}{0,15} \approx 0,745 \] Результирующая напряженность (сумма проекций на ось симметрии): \[ E_{рез} = 2 E_1 \cos \alpha = 2 \cdot 80 \cdot 0,745 \approx 119,2 \text{ В/м} \] Ответ: \( E_{рез} \approx 119,2 \text{ В/м} \). В7. Дано: \( v = 4 \cdot 10^7 \text{ м/с} \) \( m = 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ кг} \) \( e = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \) Найти: \( U \) — ? Решение: Работа электрического поля по торможению электрона равна изменению его кинетической энергии: \[ eU = \frac{mv^2}{2} \] Отсюда тормозящая разность потенциалов: \[ U = \frac{mv^2}{2e} \] \[ U = \frac{9,1 \cdot 10^{-31} \cdot (4 \cdot 10^7)^2}{2 \cdot 1,6 \cdot 10^{-19}} = \frac{9,1 \cdot 10^{-31} \cdot 16 \cdot 10^{14}}{3,2 \cdot 10^{-19}} = \frac{1,456 \cdot 10^{-15}}{3,2 \cdot 10^{-19}} = 4550 \text{ В} \] Ответ: \( U = 4,55 \text{ кВ} \).