Решение задачи по астрономии: Собственное движение светила

Решение задачи по астрономии: Собственное движение светила. Дано: Светило находится на эклиптике (эклиптическая широта \( \beta = 0 \)). Зависимость склонения от времени: \( \delta(t) = 63270'' + 3'' \cdot t \). Современное прямое восхождение: \( \alpha_0 = 3^h 07^m 44,4^s \). Наклон эклиптики к экватору: \( \varepsilon = 23^\circ 26,4' \). Интервал времени: \( \tau = 1000 \) лет. а) Определение позиционного угла \( \theta \). Так как светило движется строго по эклиптике, вектор его собственного движения направлен вдоль эклиптики. Позиционный угол \( \theta \) — это угол между направлением на северный полюс мира и направлением движения светила. Для светила на эклиптике этот угол совпадает с углом наклона эклиптики к небесному экватору в данной точке. Воспользуемся формулой связи координат для светила на эклиптике: \[ \sin \delta = \sin \varepsilon \cdot \sin \lambda \] \[ \cos \delta \cdot \cos \alpha = \cos \lambda \] \[ \cos \delta \cdot \sin \alpha = \sin \lambda \cdot \cos \varepsilon \] Из этих соотношений следует формула для позиционного угла эклиптики: \[ \cos \theta = \frac{\cos \varepsilon}{\cos \delta} \] Переведем \( \varepsilon \) в десятичные градусы: \[ \varepsilon = 23^\circ + 26,4' / 60 = 23,44^\circ \] Найдем текущее склонение \( \delta_0 \) при \( t = 0 \): \[ \delta_0 = 63270'' = 1054,5' = 17,575^\circ \] Вычислим \( \cos \theta \): \[ \cos \theta = \frac{\cos 23,44^\circ}{\cos 17,575^\circ} \approx \frac{0,91748}{0,95332} \approx 0,9624 \] \[ \theta = \arccos(0,9624) \approx 15,76^\circ \] Округляя до десятых: \( \theta \approx 15,8^\circ \). б) Вычисление прямого восхождения \( \alpha_\tau \) через 1000 лет. Скорость изменения склонения \( \mu_\delta = 3''/год \). Связь между составляющими собственного движения: \[ \mu_\delta = \mu \cdot \cos \theta \] \[ \mu_\alpha \cdot \cos \delta = \mu \cdot \sin \theta \] Откуда: \[ \mu_\alpha = \mu_\delta \cdot \tan \theta / \cos \delta \] Вычислим \( \tan \theta \): \[ \tan 15,76^\circ \approx 0,2822 \] \[ \mu_\alpha = 3'' \cdot 0,2822 / 0,9533 \approx 0,888''/год \] Переведем в секунды времени (разделив на 15): \[ \mu_\alpha^s = 0,888 / 15 \approx 0,0592^s/год \] Изменение за 1000 лет: \[ \Delta \alpha = 0,0592 \cdot 1000 = 59,2^s = 0^m 59,2^s \] Новое значение: \[ \alpha_\tau = 3^h 07^m 44,4^s + 59,2^s = 3^h 08^m 43,6^s \] в) Зависимость эклиптической долготы \( \lambda(t) \). Скорость движения по эклиптике \( \mu \): \[ \mu = \frac{\mu_\delta}{\cos \theta} = \frac{3''}{0,9624} \approx 3,117''/год \] Найдем начальную долготу \( \lambda_0 \) из \( \sin \delta_0 = \sin \varepsilon \cdot \sin \lambda_0 \): \[ \sin \lambda_0 = \frac{\sin 17,575^\circ}{\sin 23,44^\circ} \approx \frac{0,30195}{0,39775} \approx 0,7591 \] \[ \lambda_0 = \arcsin(0,7591) \approx 49,387^\circ \] Переведем в угловые секунды: \[ \lambda_0 = 49,387 \cdot 3600 = 177793,2'' \] Зависимость: \[ \lambda(t) = 177793,2 + 3,117 \cdot t \] г) Угол годичной аберрации \( \beta \). Максимальное значение аберрации (аберрационная постоянная) \( \kappa \approx 20,49'' \). Формула аберрации по долготе и широте: Поскольку светило на эклиптике (\( \beta = 0 \)), угол аберрации \( \Delta \theta \) зависит от положения Солнца \( \lambda_\odot \). В день зимнего солнцестояния \( \lambda_\odot = 270^\circ \). Смещение по долготе: \( \Delta \lambda = -\kappa \cdot \cos(\lambda_\odot - \lambda) / \cos \beta \) Смещение по широте: \( \Delta \beta = -\kappa \cdot \sin(\lambda_\odot - \lambda) \cdot \sin \beta = 0 \) Общий угол аберрации: \[ \beta_{ab} = \kappa \cdot |\cos(270^\circ - 49,4^\circ)| = 20,49'' \cdot |\cos(220,6^\circ)| \] \[ \beta_{ab} = 20,49'' \cdot 0,759 \approx 15,55'' \] Округляя до десятых: \( 15,6'' \).