Решение астрономической задачи: склонение и позиционный угол

Приношу извинения за невнимательность в предыдущем расчете. В условии сказано, что \( \delta(t) = 63270 + 3t \), где \( \delta \) в секундах, а \( t \) в годах. Это значит, что скорость изменения склонения \( \mu_{\delta} = 3''/год \). Ниже представлено исправленное и подробное решение для записи в тетрадь. Решение: а) Определение позиционного угла \( \theta \). Светило движется по эклиптике. Позиционный угол \( \theta \) направления движения эклиптики относительно небесного экватора в точке с координатами \( (\alpha, \delta) \) определяется через наклон эклиптики \( \varepsilon \): \[ \cos \theta = \frac{\cos \varepsilon}{\cos \delta} \] 1. Переведем \( \varepsilon \) в десятичные градусы: \[ \varepsilon = 23^\circ 26,4' = 23 + \frac{26,4}{60} = 23,44^\circ \] 2. Найдем текущее склонение \( \delta_0 \) (при \( t = 0 \)): \[ \delta_0 = 63270'' = \frac{63270}{3600}^\circ = 17,575^\circ \] 3. Вычислим \( \cos \theta \): \[ \cos \theta = \frac{\cos 23,44^\circ}{\cos 17,575^\circ} \approx \frac{0,91748}{0,95332} \approx 0,9624 \] \[ \theta = \arccos(0,9624) \approx 15,76^\circ \] Ответ: \( \theta \approx 15,8^\circ \). б) Вычисление прямого восхождения \( \alpha_{\tau} \) через \( \tau = 1000 \) лет. Скорость изменения склонения \( \mu_{\delta} = 3''/год \). Связь между компонентами собственного движения: \[ \mu_{\alpha} \cdot \cos \delta = \mu_{\delta} \cdot \tan \theta \] 1. Найдем \( \mu_{\alpha} \) в угловых секундах в год: \[ \mu_{\alpha} = \frac{3'' \cdot \tan 15,76^\circ}{\cos 17,575^\circ} \approx \frac{3 \cdot 0,2822}{0,9533} \approx 0,888''/год \] 2. Переведем в секунды времени (разделив на 15): \[ \mu_{\alpha}^s = \frac{0,888}{15} \approx 0,0592^s/год \] 3. Изменение за 1000 лет: \[ \Delta \alpha = 0,0592 \cdot 1000 = 59,2^s \] 4. Новое значение: \[ \alpha_{\tau} = 3^h 07^m 44,4^s + 59,2^s = 3^h 08^m 43,6^s \] Ответ: \( \alpha_{\tau} = 3^h 08^m 43,6^s \). в) Зависимость эклиптической долготы \( \lambda(t) \). Полная скорость движения по эклиптике \( \mu \): \[ \mu = \frac{\mu_{\delta}}{\cos \theta} = \frac{3''}{0,9624} \approx 3,117''/год \] Начальная долгота \( \lambda_0 \) из формулы \( \sin \delta = \sin \varepsilon \cdot \sin \lambda \): \[ \sin \lambda_0 = \frac{\sin 17,575^\circ}{\sin 23,44^\circ} \approx \frac{0,30195}{0,39775} \approx 0,7591 \Rightarrow \lambda_0 \approx 49,387^\circ \] В угловых секундах: \( \lambda_0 = 49,387 \cdot 3600 = 177793,2'' \). Зависимость: \[ \lambda(t) = 177793,2 + 3,117 \cdot t \] г) Угол годичной аберрации \( \beta_{ab} \). В день зимнего солнцестояния долгота Солнца \( \lambda_{\odot} = 270^\circ \). Для объекта на эклиптике (\( \beta = 0 \)) угол аберрации равен: \[ \Delta \theta = \kappa \cdot \sqrt{\sin^2(\lambda_{\odot} - \lambda) \cdot \cos^2 \beta + \cos^2(\lambda_{\odot} - \lambda)} \] При \( \beta = 0 \) формула упрощается до \( \Delta \theta = \kappa \), но это максимальное значение. Смещение в конкретный момент: \[ \Delta \lambda = -\frac{\kappa \cos(\lambda_{\odot} - \lambda)}{\cos \beta} \] \[ \beta_{ab} = |\Delta \lambda| = 20,49'' \cdot |\cos(270^\circ - 49,4^\circ)| \] \[ \beta_{ab} = 20,49'' \cdot |\cos 220,6^\circ| = 20,49'' \cdot 0,759 \approx 15,55'' \] Ответ: \( 15,6'' \).