Решение задачи по графику гармонических колебаний

На основании представленного графика гармонических колебаний и данных, выполним решение задачи. Дано: \[ m = 2 \text{ кг} \] Из графика (ось \(x\) в см, ось \(t\) в с): Амплитуда \(x_m = 4 \text{ см} = 0,04 \text{ м}\) Период (время одного полного колебания) \(T = 0,4 \text{ с}\) Найти: \(x_m, T, \nu, \omega, x(t), v_m, a_m, l, k\) Решение: 1. Амплитуда колебаний: \[ x_m = 4 \text{ см} = 0,04 \text{ м} \] 2. Период колебаний: \[ T = 0,4 \text{ с} \] 3. Частота колебаний: \[ \nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{0,4} = 2,5 \text{ Гц} \] 4. Циклическая частота: \[ \omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0,4} = 5\pi \approx 15,7 \text{ рад/с} \] 5. Уравнение зависимости координаты от времени: Так как при \(t=0\) координата \(x=0\) и тело движется вверх, используем функцию синуса: \[ x(t) = x_m \sin(\omega t) \] \[ x(t) = 0,04 \sin(5\pi t) \text{ (м)} \] 6. Амплитуда скорости: \[ v_m = x_m \cdot \omega = 0,04 \cdot 5\pi = 0,2\pi \approx 0,628 \text{ м/с} \] 7. Амплитуда ускорения: \[ a_m = x_m \cdot \omega^2 = 0,04 \cdot (5\pi)^2 = 0,04 \cdot 25\pi^2 = \pi^2 \approx 9,87 \text{ м/с}^2 \] 8. Жесткость системы (пружины): Из формулы \(T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\) следует: \[ k = m \cdot \omega^2 = 2 \cdot (5\pi)^2 = 50\pi^2 \approx 493,5 \text{ Н/м} \] 9. Длина нити (если это математический маятник): Из формулы \(T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\) при \(g \approx \pi^2 \approx 9,8 \text{ м/с}^2\): \[ l = \frac{g \cdot T^2}{4\pi^2} = \frac{\pi^2 \cdot 0,4^2}{4\pi^2} = \frac{0,16}{4} = 0,04 \text{ м} = 4 \text{ см} \] Ответ: \(x_m = 0,04 \text{ м}\); \(T = 0,4 \text{ с}\); \(\nu = 2,5 \text{ Гц}\); \(\omega = 5\pi \text{ рад/с}\); \(x(t) = 0,04 \sin(5\pi t)\); \(v_m \approx 0,63 \text{ м/с}\); \(a_m \approx 9,87 \text{ м/с}^2\); \(k \approx 493,5 \text{ Н/м}\); \(l = 0,04 \text{ м}\).