Почему e^(i φ) ≠ e^(-i φ)? Полное Объяснение

Давайте разберем этот вопрос. Утверждение \(e^{i \phi} = e^{-i \phi}\) **неверно** в общем случае. Давайте вспомним формулу Эйлера, которая связывает экспоненту с мнимой степенью с тригонометрическими функциями: \[e^{i \phi} = \cos(\phi) + i \sin(\phi)\] Теперь давайте рассмотрим выражение \(e^{-i \phi}\). Мы можем подставить \(-\phi\) вместо \(\phi\) в формулу Эйлера: \[e^{-i \phi} = \cos(-\phi) + i \sin(-\phi)\] Мы знаем, что косинус — это четная функция, то есть \(\cos(-\phi) = \cos(\phi)\). А синус — это нечетная функция, то есть \(\sin(-\phi) = -\sin(\phi)\). Подставим это обратно в выражение для \(e^{-i \phi}\): \[e^{-i \phi} = \cos(\phi) - i \sin(\phi)\] Теперь давайте сравним \(e^{i \phi}\) и \(e^{-i \phi}\): \[e^{i \phi} = \cos(\phi) + i \sin(\phi)\] \[e^{-i \phi} = \cos(\phi) - i \sin(\phi)\] Как видите, эти два выражения **не равны** друг другу, если только \(\sin(\phi)\) не равен нулю. Когда же они могут быть равны? Они будут равны, если: \[\cos(\phi) + i \sin(\phi) = \cos(\phi) - i \sin(\phi)\] Это равенство будет выполняться, если \(i \sin(\phi) = -i \sin(\phi)\). Это возможно только в том случае, если \(2i \sin(\phi) = 0\), что означает \(\sin(\phi) = 0\). Синус равен нулю, когда \(\phi\) является целым кратным \(\pi\), то есть \(\phi = n \pi\), где \(n\) — любое целое число (\(0, \pm 1, \pm 2, \dots\)). Например: * Если \(\phi = 0\), то \(e^{i \cdot 0} = e^0 = 1\) и \(e^{-i \cdot 0} = e^0 = 1\). В этом случае они равны. * Если \(\phi = \pi\), то \(e^{i \pi} = \cos(\pi) + i \sin(\pi) = -1 + i \cdot 0 = -1\). И \(e^{-i \pi} = \cos(-\pi) + i \sin(-\pi) = -1 + i \cdot 0 = -1\). В этом случае они тоже равны. * Если \(\phi = \frac{\pi}{2}\), то \(e^{i \frac{\pi}{2}} = \cos(\frac{\pi}{2}) + i \sin(\frac{\pi}{2}) = 0 + i \cdot 1 = i\). А \(e^{-i \frac{\pi}{2}} = \cos(-\frac{\pi}{2}) + i \sin(-\frac{\pi}{2}) = 0 - i \cdot 1 = -i\). В этом случае \(i \neq -i\), поэтому они не равны. Таким образом, утверждение \(e^{i \phi} = e^{-i \phi}\) **не является общеверным**. Оно справедливо только для частных случаев, когда \(\phi = n \pi\), где \(n\) — целое число.