Почему e^(i * phi) ≠ e^(-i * phi)? Полное решение

Давайте разберем этот вопрос. Утверждение \(e^{i \phi} = e^{-i \phi}\) **неверно** в общем случае. Давайте вспомним формулу Эйлера, которая связывает экспоненту с мнимой степенью с тригонометрическими функциями: \[e^{i \phi} = \cos(\phi) + i \sin(\phi)\] Теперь давайте рассмотрим выражение \(e^{-i \phi}\). Мы можем подставить \(-\phi\) вместо \(\phi\) в формулу Эйлера: \[e^{-i \phi} = \cos(-\phi) + i \sin(-\phi)\] Мы знаем, что косинус — это четная функция, то есть \(\cos(-\phi) = \cos(\phi)\). А синус — это нечетная функция, то есть \(\sin(-\phi) = -\sin(\phi)\). Подставляя это обратно, получаем: \[e^{-i \phi} = \cos(\phi) - i \sin(\phi)\] Теперь давайте сравним \(e^{i \phi}\) и \(e^{-i \phi}\): \[e^{i \phi} = \cos(\phi) + i \sin(\phi)\] \[e^{-i \phi} = \cos(\phi) - i \sin(\phi)\] Как видите, эти два выражения равны только в том случае, если мнимая часть равна нулю, то есть \(i \sin(\phi) = -i \sin(\phi)\). Это возможно только если \(\sin(\phi) = 0\). \(\sin(\phi) = 0\) происходит при \(\phi = \pi k\), где \(k\) — любое целое число (0, \(\pm 1\), \(\pm 2\), ...). В этих случаях: Если \(\phi = 0\), то \(e^{i \cdot 0} = e^0 = 1\) и \(e^{-i \cdot 0} = e^0 = 1\). Они равны. Если \(\phi = \pi\), то \(e^{i \pi} = \cos(\pi) + i \sin(\pi) = -1 + i \cdot 0 = -1\). И \(e^{-i \pi} = \cos(-\pi) + i \sin(-\pi) = \cos(\pi) - i \sin(\pi) = -1 - i \cdot 0 = -1\). Они равны. Но в общем случае, например, если \(\phi = \frac{\pi}{2}\): \(e^{i \frac{\pi}{2}} = \cos(\frac{\pi}{2}) + i \sin(\frac{\pi}{2}) = 0 + i \cdot 1 = i\) \(e^{-i \frac{\pi}{2}} = \cos(-\frac{\pi}{2}) + i \sin(-\frac{\pi}{2}) = 0 - i \cdot 1 = -i\) Здесь \(i \neq -i\). Таким образом, утверждение \(e^{i \phi} = e^{-i \phi}\) **не является верным** для всех значений \(\phi\). Оно верно только тогда, когда \(\sin(\phi) = 0\).