Почему e^(i * phi) ≠ e^(i * -phi): Разбор ошибки

Давайте разберем этот вопрос. На самом деле, равенство \(e^{i \phi} = e^{i (-\phi)}\) неверно в общем случае. Давайте вспомним формулу Эйлера, которая связывает экспоненту с мнимой степенью и тригонометрические функции: \[e^{i \theta} = \cos(\theta) + i \sin(\theta)\] Применим эту формулу к левой части вашего выражения: \[e^{i \phi} = \cos(\phi) + i \sin(\phi)\] Теперь применим ее к правой части, где угол равен \(-\phi\): \[e^{i (-\phi)} = \cos(-\phi) + i \sin(-\phi)\] Теперь давайте вспомним свойства четности и нечетности тригонометрических функций: * Косинус — четная функция, то есть \(\cos(-\theta) = \cos(\theta)\). * Синус — нечетная функция, то есть \(\sin(-\theta) = -\sin(\theta)\). Используя эти свойства, мы можем переписать правую часть: \[e^{i (-\phi)} = \cos(\phi) + i (-\sin(\phi))\] \[e^{i (-\phi)} = \cos(\phi) - i \sin(\phi)\] Теперь сравним левую и правую части: Левая часть: \(e^{i \phi} = \cos(\phi) + i \sin(\phi)\) Правая часть: \(e^{i (-\phi)} = \cos(\phi) - i \sin(\phi)\) Как видите, эти выражения не равны, если \(\sin(\phi) \neq 0\). Они будут равны только в том случае, если \(\sin(\phi) = -\sin(\phi)\), что означает \(\sin(\phi) = 0\). Это происходит, когда \(\phi\) является целым кратным \(\pi\), то есть \(\phi = n\pi\), где \(n\) — целое число. Например, если \(\phi = \pi\): \(e^{i \pi} = \cos(\pi) + i \sin(\pi) = -1 + i \cdot 0 = -1\) \(e^{i (-\pi)} = \cos(-\pi) + i \sin(-\pi) = -1 + i \cdot 0 = -1\) В этом случае они равны. Но если, например, \(\phi = \frac{\pi}{2}\): \(e^{i \frac{\pi}{2}} = \cos(\frac{\pi}{2}) + i \sin(\frac{\pi}{2}) = 0 + i \cdot 1 = i\) \(e^{i (-\frac{\pi}{2})} = \cos(-\frac{\pi}{2}) + i \sin(-\frac{\pi}{2}) = 0 + i \cdot (-1) = -i\) В этом случае \(i \neq -i\), поэтому равенство не выполняется. Таким образом, равенство \(e^{i \phi} = e^{i (-\phi)}\) не является верным в общем случае. Оно верно только тогда, когда \(\sin(\phi) = 0\).