Почему e^(i * phi) ≠ e^(i * -phi)? Полное Объяснение

Давайте разберем этот вопрос. На самом деле, равенство \(e^{i \phi} = e^{i (-\phi)}\) **неверно** в общем случае. Давайте посмотрим, почему. Мы знаем формулу Эйлера, которая связывает экспоненту с мнимой степенью и тригонометрическими функциями: \[e^{i x} = \cos(x) + i \sin(x)\] Применим эту формулу к левой части вашего выражения, где \(x = \phi\): \[e^{i \phi} = \cos(\phi) + i \sin(\phi)\] Теперь применим ее к правой части вашего выражения, где \(x = -\phi\): \[e^{i (-\phi)} = \cos(-\phi) + i \sin(-\phi)\] Теперь давайте вспомним свойства четности и нечетности тригонометрических функций: * Косинус — четная функция, то есть \(\cos(-x) = \cos(x)\). * Синус — нечетная функция, то есть \(\sin(-x) = -\sin(x)\). Используя эти свойства, мы можем переписать правую часть: \[e^{i (-\phi)} = \cos(\phi) + i (-\sin(\phi))\] \[e^{i (-\phi)} = \cos(\phi) - i \sin(\phi)\] Теперь сравним левую и правую части: Левая часть: \(e^{i \phi} = \cos(\phi) + i \sin(\phi)\) Правая часть: \(e^{i (-\phi)} = \cos(\phi) - i \sin(\phi)\) Как видите, эти выражения равны только в том случае, если \(i \sin(\phi) = -i \sin(\phi)\). Это возможно только если \(\sin(\phi) = 0\). А \(\sin(\phi) = 0\) происходит, когда \(\phi\) является целым кратным \(\pi\), то есть \(\phi = n \pi\), где \(n\) — целое число. В остальных случаях, когда \(\sin(\phi) \neq 0\), равенство \(e^{i \phi} = e^{i (-\phi)}\) не выполняется. Например, если \(\phi = \frac{\pi}{2}\): \[e^{i \frac{\pi}{2}} = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 + i \cdot 1 = i\] \[e^{i (-\frac{\pi}{2})} = \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0 + i \cdot (-1) = -i\] Здесь \(i \neq -i\). Таким образом, равенство \(e^{i \phi} = e^{i (-\phi)}\) **не является верным** в общем случае. Возможно, вы имели в виду другое равенство, например, \(e^{i \phi} = \overline{e^{-i \phi}}\) (комплексное сопряжение) или что-то подобное.