Решение задачи: Определение температуры реакции

Давайте решим эту задачу. Для начала запишем известные данные: * Начальная температура \(T_1 = 293 \text{ К}\) * Время реакции при \(T_1\) составляет \(t_1 = 2 \text{ ч}\) * Желаемое время реакции \(t_2 = 15 \text{ мин}\) * Температурный коэффициент реакции \(\gamma = 3\) Нам нужно найти конечную температуру \(T_2\). Сначала переведем все время в одни единицы, например, в минуты: \(t_1 = 2 \text{ ч} = 2 \times 60 \text{ мин} = 120 \text{ мин}\) Теперь воспользуемся правилом Вант-Гоффа, которое связывает скорость реакции с температурой. Оно гласит, что при повышении температуры на каждые 10 градусов Цельсия (или Кельвина, так как разница в 10 градусов одинакова для обеих шкал) скорость реакции увеличивается в \(\gamma\) раз. Формула для расчета изменения скорости реакции: \[ \frac{k_2}{k_1} = \gamma^{\frac{T_2 - T_1}{10}} \] где \(k_1\) и \(k_2\) - константы скорости реакции при температурах \(T_1\) и \(T_2\) соответственно. Мы знаем, что время реакции обратно пропорционально скорости реакции. То есть, чем быстрее реакция, тем меньше времени она занимает. \[ \frac{k_2}{k_1} = \frac{t_1}{t_2} \] Теперь мы можем приравнять эти два выражения: \[ \frac{t_1}{t_2} = \gamma^{\frac{T_2 - T_1}{10}} \] Подставим известные значения: \[ \frac{120 \text{ мин}}{15 \text{ мин}} = 3^{\frac{T_2 - 293}{10}} \] Вычислим левую часть: \[ 8 = 3^{\frac{T_2 - 293}{10}} \] Чтобы найти \(T_2\), нам нужно взять логарифм от обеих частей уравнения. Удобнее всего использовать натуральный логарифм (ln) или логарифм по основанию 10 (lg). Давайте используем натуральный логарифм. \[ \ln(8) = \ln\left(3^{\frac{T_2 - 293}{10}}\right) \] Используя свойство логарифма \(\ln(a^b) = b \cdot \ln(a)\): \[ \ln(8) = \frac{T_2 - 293}{10} \cdot \ln(3) \] Теперь выразим \(\frac{T_2 - 293}{10}\): \[ \frac{T_2 - 293}{10} = \frac{\ln(8)}{\ln(3)} \] Вычислим значения логарифмов: \(\ln(8) \approx 2.079\) \(\ln(3) \approx 1.099\) \[ \frac{T_2 - 293}{10} \approx \frac{2.079}{1.099} \] \[ \frac{T_2 - 293}{10} \approx 1.892 \] Теперь умножим обе части на 10: \[ T_2 - 293 \approx 1.892 \times 10 \] \[ T_2 - 293 \approx 18.92 \] И, наконец, найдем \(T_2\): \[ T_2 \approx 293 + 18.92 \] \[ T_2 \approx 311.92 \text{ К} \] Обычно температуру указывают в градусах Цельсия, поэтому переведем \(T_2\) в градусы Цельсия: \(T_2 \text{ (в °C)} = T_2 \text{ (в К)} - 273.15\) \(T_2 \text{ (в °C)} \approx 311.92 - 273.15\) \(T_2 \text{ (в °C)} \approx 38.77 \text{ °C}\) Округлим до целых градусов для удобства: \(T_2 \approx 312 \text{ К}\) или \(T_2 \approx 39 \text{ °C}\). Ответ: Реакция практически закончится через 15 минут при температуре примерно \(312 \text{ К}\) или \(39 \text{ °C}\).