Хорошо, давайте разберем каждую тему из модуля более подробно, с примерами, чтобы вам было удобно переписывать и понимать.
***
1. Комплексные числа
Комплексное число — это число вида \(z = x + iy\), где \(x\) и \(y\) — действительные числа, а \(i\) — мнимая единица, для которой выполняется условие \(i^2 = -1\).
* \(x\) называется действительной частью комплексного числа и обозначается \(\text{Re}(z)\).
* \(y\) называется мнимой частью комплексного числа и обозначается \(\text{Im}(z)\).
Формы записи комплексного числа:
1. Алгебраическая форма: \(z = x + iy\)
Пример: \(z = 3 + 4i\). Здесь \(\text{Re}(z) = 3\), \(\text{Im}(z) = 4\).
2. Тригонометрическая форма: \(z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)\)
Здесь \(r\) — модуль комплексного числа (расстояние от начала координат до точки, соответствующей числу на комплексной плоскости), \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\).
\(\varphi\) — аргумент комплексного числа (угол между положительной полуосью действительной оси и вектором, идущим от начала координат к точке \(z\)), \(\varphi = \text{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)\) с учетом квадранта.
Пример: Для \(z = 1 + i\).
\(r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\).
\(\varphi = \text{arctg}\left(\frac{1}{1}\right) = \frac{\pi}{4}\) (так как число в первом квадранте).
Тогда \(z = \sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}\right)\).
3. Показательная (экспоненциальная) форма: \(z = re^{i\varphi}\)
Эта форма следует из формулы Эйлера: \(e^{i\varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi\).
Пример: Для \(z = 1 + i\), используя \(r = \sqrt{2}\) и \(\varphi = \frac{\pi}{4}\), получаем \(z = \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}\).
Изображение комплексного числа на плоскости:
Комплексное число \(z = x + iy\) можно изобразить как точку с координатами \((x, y)\) на комплексной плоскости. Горизонтальная ось называется действительной осью (\(\text{Re}\)), а вертикальная — мнимой осью (\(\text{Im}\)).
Пример: Число \(z = 3 + 4i\) изображается точкой \((3, 4)\) на комплексной плоскости.
Операции над комплексными числами:
Пусть \(z_1 = x_1 + iy_1\) и \(z_2 = x_2 + iy_2\).
1. Сложение: \(z_1 + z_2 = (x_1 + x_2) + i(y_1 + y_2)\)
Пример: \((2 + 3i) + (1 - 2i) = (2 + 1) + i(3 - 2) = 3 + i\).
2. Вычитание: \(z_1 - z_2 = (x_1 - x_2) + i(y_1 - y_2)\)
Пример: \((2 + 3i) - (1 - 2i) = (2 - 1) + i(3 - (-2)) = 1 + 5i\).
3. Умножение: \(z_1 z_2 = (x_1 + iy_1)(x_2 + iy_2) = x_1 x_2 + ix_1 y_2 + iy_1 x_2 + i^2 y_1 y_2 = (x_1 x_2 - y_1 y_2) + i(x_1 y_2 + y_1 x_2)\)
Пример: \((2 + 3i)(1 - 2i) = 2 \cdot 1 + 2 \cdot (-2i) + 3i \cdot 1 + 3i \cdot (-2i) = 2 - 4i + 3i - 6i^2 = 2 - i + 6 = 8 - i\).
В тригонометрической форме: \(z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 + \varphi_2))\).
В показательной форме: \(z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)}\).
4. Деление: \(\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1 + iy_1}{x_2 + iy_2}\). Для деления умножают числитель и знаменатель на комплексно сопряженное к знаменателю число. Комплексно сопряженное к \(z = x + iy\) это \(\bar{z} = x - iy\).
\(\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1 + iy_1}{x_2 + iy_2} \cdot \frac{x_2 - iy_2}{x_2 - iy_2} = \frac{(x_1 x_2 + y_1 y_2) + i(y_1 x_2 - x_1 y_2)}{x_2^2 + y_2^2}\)
Пример: \(\frac{2 + 3i}{1 - 2i} = \frac{(2 + 3i)(1 + 2i)}{(1 - 2i)(1 + 2i)} = \frac{2 + 4i + 3i + 6i^2}{1^2 + (-2)^2} = \frac{2 + 7i - 6}{1 + 4} = \frac{-4 + 7i}{5} = -\frac{4}{5} + \frac{7}{5}i\).
В тригонометрической форме: \(\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} (\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 - \varphi_2))\).
В показательной форме: \(\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} e^{i(\varphi_1 - \varphi_2)}\).
5. Возведение в степень (Формула Муавра): Для \(z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)\)
\(z^n = r^n (\cos(n\varphi) + i \sin(n\varphi))\)
Пример: Найти \((1 + i)^4\).
Мы знаем, что \(1 + i = \sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}\right)\).
Тогда \((1 + i)^4 = (\sqrt{2})^4 \left(\cos\left(4 \cdot \frac{\pi}{4}\right) + i \sin\left(4 \cdot \frac{\pi}{4}\right)\right) = 4(\cos \pi + i \sin \pi) = 4(-1 + 0i) = -4\).
6. Извлечение корня: Для \(z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)\)
\(\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r} \left(\cos\left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n}\right) + i \sin\left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n}\right)\right)\), где \(k = 0, 1, \dots, n-1\).
Пример: Найти \(\sqrt[3]{1}\).
\(1 = 1(\cos 0 + i \sin 0)\).
\(k = 0: z_0 = \sqrt[3]{1}\left(\cos\left(\frac{0 + 2\pi \cdot 0}{3}\right) + i \sin\left(\frac{0 + 2\pi \cdot 0}{3}\right)\right) = 1(\cos 0 + i \sin 0) = 1\).
\(k = 1: z_1 = \sqrt[3]{1}\left(\cos\left(\frac{0 + 2\pi \cdot 1}{3}\right) + i \sin\left(\frac{0 + 2\pi \cdot 1}{3}\right)\right) = \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) + i \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\).
\(k = 2: z_2 = \sqrt[3]{1}\left(\cos\left(\frac{0 + 2\pi \cdot 2}{3}\right) + i \sin\left(\frac{0 + 2\pi \cdot 2}{3}\right)\right) = \cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) + i \sin\left(\frac{4\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}\).
***
2. Пределы комплексных последовательностей
Последовательность комплексных чисел \(\{z_n\}\) сходится к комплексному числу \(L\), если для любого \(\varepsilon > 0\) существует такое натуральное число \(N\), что для всех \(n > N\) выполняется \(|z_n - L| < \varepsilon\).
Это означает, что \(\lim_{n \to \infty} z_n = L\).
Если \(z_n = x_n + iy_n\) и \(L = x + iy\), то \(\lim_{n \to \infty} z_n = L\) тогда и только тогда, когда \(\lim_{n \to \infty} x_n = x\) и \(\lim_{n \to \infty} y_n = y\).
Пример: Найти предел последовательности \(z_n = \frac{n + i}{n - i}\).
Разделим числитель и знаменатель на \(n\):
\(z_n = \frac{1 + i/n}{1 - i/n}\).
При \(n \to \infty\), \(i/n \to 0\).
Тогда \(\lim_{n \to \infty} z_n = \frac{1 + 0}{1 - 0} = 1\).
***
3. Функция комплексной переменной
Функция комплексной переменной \(f(z)\) ставит в соответствие каждому комплексному числу \(z\) из некоторой области \(D\) другое комплексное число \(w = f(z)\).
Если \(z = x + iy\), то \(w = u + iv\), где \(u\) и \(v\) — действительные функции от \(x\) и \(y\).
То есть, \(f(z) = u(x, y) + iv(x, y)\).
Пример: \(f(z) = z^2\).
Пусть \(z = x + iy\).
Тогда \(f(z) = (x + iy)^2 = x^2 + 2ixy + (iy)^2 = x^2 + 2ixy - y^2 = (x^2 - y^2) + i(2xy)\).
Здесь \(u(x, y) = x^2 - y^2\) и \(v(x, y) = 2xy\).
Предел функции комплексной переменной:
Функция \(f(z)\) имеет предел \(L\) при \(z \to z_0\), если для любого \(\varepsilon > 0\) существует \(\delta > 0\) такое, что для всех \(z\) из области определения \(f(z)\), удовлетворяющих условию \(0 < |z - z_0| < \delta\), выполняется \(|f(z) - L| < \varepsilon\).
Обозначается \(\lim_{z \to z_0} f(z) = L\).
Непрерывность функции комплексной переменной:
Функция \(f(z)\) непрерывна в точке \(z_0\), если \(\lim_{z \to z_0} f(z) = f(z_0)\).
***
4. Производная функции комплексной переменной
Производная функции \(f(z)\) в точке \(z_0\) определяется как:
\(f'(z_0) = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z_0 + \Delta z) - f(z_0)}{\Delta z}\),
если этот предел существует и не зависит от способа стремления \(\Delta z\) к нулю.
Условия Коши-Римана:
Для того чтобы функция \(f(z) = u(x, y) + iv(x, y)\) была дифференцируема в точке \(z_0 = x_0 + iy_0\), необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовали частные производные первого порядка функций \(u(x, y)\) и \(v(x, y)\), и чтобы они удовлетворяли условиям Коши-Римана:
\[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \]
\[ \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \]
Если эти условия выполняются, то производная может быть найдена по формулам:
\(f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i \frac{\partial v}{\partial x}\)
или
\(f'(z) = \frac{\partial v}{\partial y} - i \frac{\partial u}{\partial y}\)
Пример: Проверить, является ли функция \(f(z) = z^2\) дифференцируемой, и найти её производную.
Мы знаем, что \(f(z) = (x^2 - y^2) + i(2xy)\).
Значит, \(u(x, y) = x^2 - y^2\) и \(v(x, y) = 2xy\).
Найдем частные производные:
\(\frac{\partial u}{\partial x} = 2x\)
\(\frac{\partial u}{\partial y} = -2y\)
\(\frac{\partial v}{\partial x} = 2y\)
\(\frac{\partial v}{\partial y} = 2x\)
Проверяем условия Коши-Римана:
\(\frac{\partial u}{\partial x} = 2x\) и \(\frac{\partial v}{\partial y} = 2x\). Первое условие выполняется: \(\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}\).
\(\frac{\partial u}{\partial y} = -2y\) и \(-\frac{\partial v}{\partial x} = -2y\). Второе условие выполняется: \(\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\).
Так как условия Коши-Римана выполняются, функция \(f(z) = z^2\) дифференцируема.
Найдем производную:
\(f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i \frac{\partial v}{\partial x} = 2x + i(2y) = 2(x + iy) = 2z\).
Это совпадает с правилом дифференцирования для действительных функций.
***
5. Аналитичность функции
Функция \(f(z)\) называется аналитической (или голоморфной) в точке \(z_0\), если она дифференцируема не только в самой точке \(z_0\), но и в некоторой окрестности этой точки.
Функция называется аналитической в области \(D\), если она аналитична в каждой точке этой области.
Свойства аналитических функций:
* Если функция аналитична, то она бесконечно дифференцируема.
* Аналитическая функция может быть представлена степенным рядом в окрестности любой точки, где она аналитична.
* Действительная и мнимая части аналитической функции являются гармоническими функциями (то есть удовлетворяют уравнению Лапласа: \(\Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0\)).
* Модуль аналитической функции не может иметь локального максимума внутри области аналитичности (принцип максимума модуля).
Пример: Функция \(f(z) = z^2\) является аналитической на всей комплексной плоскости, так как условия Коши-Римана выполняются для всех \(x, y\).
Пример функции, которая не является аналитической: \(f(z) = \bar{z}\) (комплексно сопряженное).
Пусть \(f(z) = x - iy\).
Тогда \(u(x, y) = x\) и \(v(x, y) = -y\).
\(\frac{\partial u}{\partial x} = 1\)
\(\frac{\partial u}{\partial y} = 0\)
\(\frac{\partial v}{\partial x} = 0\)
\(\frac{\partial v}{\partial y} = -1\)
Проверяем условия Коши-Римана:
\
