Решение задачи по Инженерной геодезии (ПГС, 2 курс, 3 семестр)

Вопросы к зачёту по дисциплине Инженерная геодезия

Курс 2, семестр 3, профиль ПГС

1. Метод проекций и система координат в геодезии. Прямоугольная и полярная система координат.

   Метод проекций в геодезии – это способ изображения трёхмерной поверхности Земли (или её участка) на плоской карте или плане. Поскольку Земля имеет форму, близкую к эллипсоиду, а карта – плоская, при таком изображении всегда возникают искажения (длин, углов, площадей). Задача проекции – минимизировать эти искажения или распределить их определённым образом в зависимости от назначения карты.

   Система координат в геодезии – это совокупность правил и параметров, позволяющих однозначно определить положение точки на земной поверхности или в пространстве. В геодезии используются различные системы координат, наиболее распространённые из которых – прямоугольная и полярная.

   Прямоугольная система координат (например, Гаусса-Крюгера или UTM) – это система, в которой положение точки определяется двумя или тремя взаимно перпендикулярными координатами. На плоскости это обычно оси X и Y. Ось X (абсцисс) обычно направлена на север, а ось Y (ординат) – на восток. Начало координат (точка отсчёта) выбирается таким образом, чтобы все координаты на данном участке были положительными. В России широко используется система координат Гаусса-Крюгера, которая представляет собой поперечно-цилиндрическую проекцию Земли на плоскость, разбитую на зоны по 6 градусов долготы.

   Полярная система координат – это система, в которой положение точки определяется расстоянием от начала координат (полюса) до этой точки (радиус-вектор) и углом, отсчитываемым от заданного направления (полярной оси) до радиус-вектора. В геодезии полярная система координат часто используется для определения положения точек относительно станции прибором (например, тахеометром). Полюс – это точка стояния прибора, полярная ось – это направление на ориентирный пункт (например, на север или на другую известную точку), а угол – это горизонтальный угол, измеренный от полярной оси до направления на определяемую точку.

2. Определение Меридиана и Долготы.

   Меридиан – это половина большого круга, проходящего через географические полюса Земли и любую заданную точку на её поверхности. Все точки, лежащие на одном меридиане, имеют одинаковую долготу. Меридианы перпендикулярны экватору. Начальный (нулевой) меридиан, от которого отсчитывается долгота, проходит через Гринвичскую обсерваторию в Лондоне.

   Долгота – это угловое расстояние от начального (Гринвичского) меридиана до меридиана данной точки, измеряемое вдоль экватора. Долгота измеряется в градусах, минутах и секундах от 0° до 180° к востоку (восточная долгота, обозначается В.Д. или E) или к западу (западная долгота, обозначается З.Д. или W). Например, Москва находится на восточной долготе, а Нью-Йорк – на западной.

   Определение меридиана и долготы на практике может осуществляться различными способами:

   • Астрономические методы: по наблюдениям за небесными светилами (Солнцем, звёздами). Например, по моменту прохождения Солнца через кульминацию можно определить местный полдень, а значит, и направление местного меридиана.
   • С помощью GPS/ГЛОНАСС приёмников: современные спутниковые системы позиционирования позволяют с высокой точностью определять географические координаты (широту и долготу) любой точки на Земле.
   • По картам: на топографических картах и планах нанесены координатные сетки, позволяющие определить долготу точки.

3. Ориентирование. Истинный азимут. Магнитный азимут. Дирекционный угол. Связь между ними.

   Ориентирование – это определение положения объекта или направления линии на местности относительно сторон горизонта или других известных направлений. В геодезии ориентирование является одной из ключевых задач, так как позволяет привязать измерения к общей системе координат.

   Истинный азимут (А) – это горизонтальный угол, отсчитываемый по ходу часовой стрелки от северного направления истинного (географического) меридиана до ориентируемой линии. Истинный азимут изменяется от 0° до 360°. Истинный меридиан – это линия, проходящая через географические полюса Земли.

   Магнитный азимут (А_м) – это горизонтальный угол, отсчитываемый по ходу часовой стрелки от северного направления магнитного меридиана до ориентируемой линии. Магнитный меридиан – это направление, указываемое магнитной стрелкой компаса. Магнитный азимут также изменяется от 0° до 360°.

   Дирекционный угол (α) – это горизонтальный угол, отсчитываемый по ходу часовой стрелки от северного направления осевого меридиана зоны (или линии, параллельной ему) до ориентируемой линии. Дирекционный угол также изменяется от 0° до 360°. Осевой меридиан зоны – это центральный меридиан каждой 6-градусной зоны в проекции Гаусса-Крюгера.

   Связь между ними:

   1. Связь между истинным и магнитным азимутом:

   Разница между истинным и магнитным азимутом называется магнитным склонением (δ). Магнитное склонение – это угол между истинным и магнитным меридианами в данной точке. Оно может быть восточным (положительным) или западным (отрицательным) и меняется со временем и местоположением.

   \[A = A_м + \delta\]

   Если магнитное склонение восточное, то \(\delta > 0\). Если западное, то \(\delta < 0\).

   2. Связь между истинным азимутом и дирекционным углом:

   Разница между истинным азимутом и дирекционным углом называется сближением меридианов (γ). Сближение меридианов – это угол между истинным меридианом и линией, параллельной осевому меридиану зоны, проходящей через данную точку. Оно также может быть восточным (положительным) или западным (отрицательным) и зависит от положения точки относительно осевого меридиана зоны.

   \[A = \alpha + \gamma\]

   Если точка находится к востоку от осевого меридиана, то \(\gamma > 0\). Если к западу, то \(\gamma < 0\).

   3. Связь между магнитным азимутом и дирекционным углом:

   Из двух предыдущих формул можно вывести связь между магнитным азимутом и дирекционным углом:

   \[A_м = \alpha + \gamma - \delta\]

   или

   \[\alpha = A_м - \gamma + \delta\]

   Эти соотношения позволяют переходить от одного вида ориентирования к другому, что очень важно при работе с различными картами и приборами.

4. Прямая и обратная геодезические задачи. Оценка точности измерений полигона.

   Прямая геодезическая задача – это задача определения координат новой (неизвестной) точки по известным координатам исходной точки, длине линии между ними и дирекционному углу этой линии.

   Дано: Координаты точки А \((X_A, Y_A)\), длина линии \(S_{AB}\), дирекционный угол линии \(\alpha_{AB}\).

   Найти: Координаты точки В \((X_B, Y_B)\).

   Решение:

   \[\Delta X = S_{AB} \cdot \cos(\alpha_{AB})\] \[\Delta Y = S_{AB} \cdot \sin(\alpha_{AB})\] \[X_B = X_A + \Delta X\] \[Y_B = Y_A + \Delta Y\]

   Где \(\Delta X\) и \(\Delta Y\) – приращения координат.

   Обратная геодезическая задача – это задача определения длины линии и её дирекционного угла по известным координатам двух точек.

   Дано: Координаты точки А \((X_A, Y_A)\), координаты точки В \((X_B, Y_B)\).

   Найти: Длину линии \(S_{AB}\) и дирекционный угол линии \(\alpha_{AB}\).

   Решение:

   \[\Delta X = X_B - X_A\] \[\Delta Y = Y_B - Y_A\] \[S_{AB} = \sqrt{(\Delta X)^2 + (\Delta Y)^2}\]

   Дирекционный угол \(\alpha_{AB}\) определяется по формулам:

   \[\operatorname{tg}(\alpha_{AB}) = \frac{\Delta Y}{\Delta X}\]

   При определении \(\alpha_{AB}\) необходимо учитывать четверть, в которой находится линия, по знакам \(\Delta X\) и \(\Delta Y\):

   • Если \(\Delta X > 0, \Delta Y > 0\), то \(\alpha_{AB}\) в I четверти.
   • Если \(\Delta X < 0, \Delta Y > 0\), то \(\alpha_{AB}\) во II четверти (\(\alpha_{AB} = 180^\circ + \operatorname{arctg}(\frac{\Delta Y}{\Delta X})\)).
   • Если \(\Delta X < 0, \Delta Y < 0\), то \(\alpha_{AB}\) в III четверти (\(\alpha_{AB} = 180^\circ + \operatorname{arctg}(\frac{\Delta Y}{\Delta X})\)).
   • Если \(\Delta X > 0, \Delta Y < 0\), то \(\alpha_{AB}\) в IV четверти (\(\alpha_{AB} = 360^\circ + \operatorname{arctg}(\frac{\Delta Y}{\Delta X})\)).

   Оценка точности измерений полигона (теодолитного хода)

   Полигоном (теодолитным ходом) называется замкнутая или разомкнутая ломаная линия, в вершинах которой измеряются горизонтальные углы и длины сторон. Для оценки точности измерений в полигоне используются следующие критерии:

   1. Угловая невязка (f_β):

   В замкнутом полигоне сумма измеренных внутренних углов должна быть равна теоретической сумме углов многоугольника:

   \[\sum \beta_{изм} = (n-2) \cdot 180^\circ\]

   Где \(n\) – число углов (вершин) полигона.

   Угловая невязка:

   \[f_\beta = \sum \beta_{изм} - (n-2) \cdot 180^\circ\]

   Допустимая угловая невязка определяется по формуле:

   \[[f_\beta]_{доп} = \pm t \cdot \sqrt{n}\]

   Где \(t\) – точность угловых измерений (например, 1' или 30''). Если \(|f_\beta| \le [f_\beta]_{доп}\), то угловые измерения считаются выполненными с допустимой точностью.

   2. Линейные невязки (f_x, f_y):

   В замкнутом полигоне сумма приращений координат по оси X и по оси Y должна быть равна нулю:

   \[\sum \Delta X = 0\] \[\sum \Delta Y = 0\]

   Линейные невязки:

   \[f_x = \sum \Delta X_{изм}\] \[f_y = \sum \Delta Y_{изм}\]

   Где \(\Delta X_{изм}\) и \(\Delta Y_{изм}\) – приращения координат, вычисленные по измеренным длинам сторон и дирекционным углам.

   3. Абсолютная линейная невязка (f_S):

   \[f_S = \sqrt{f_x^2 + f_y^2}\]

   4. Относительная линейная невязка (1/P):

   \[\frac{1}{P} = \frac{f_S}{\sum S}\]

   Где \(\sum S\) – периметр полигона (сумма длин всех сторон).

   Допустимая относительная линейная невязка зависит от класса точности полигона (например, 1/2000, 1/5000). Если \(\frac{1}{P} \le [\frac{1}{P}]_{доп}\), то линейные измерения считаются выполненными с допустимой точностью.

   После оценки точности и подтверждения допустимости невязок, производится уравнивание полигона, то есть распределение невязок по измерениям для получения наиболее вероятных значений координат вершин.

5. Топографические карты. Цифровые и электронные топографические карты.

   Топографическая карта – это уменьшенное, обобщённое и условное изображение земной поверхности на плоскости, выполненное в определённой картографической проекции, с помощью условных знаков, показывающее природные и социально-экономические объекты местности, их взаимное расположение и характеристики. Топографические карты являются основным источником информации о местности для различных целей: проектирования, строительства, навигации, военного дела и т.д.

   Основные элементы топографической карты:

   • Математическая основа: масштаб, картографическая проекция, система координат, система высот.
   • Содержание: рельеф (изображается горизонталями), гидрография (реки, озёра, болота), растительность (леса, кустарники), населённые пункты, дорожная сеть, промышленные и сельскохозяйственные объекты, границы, грунты и т.д.
   • Оформление: условные знаки, зарамочное оформление (названия, легенда, масштаб, номенклатура, данные о создании карты).

   Цифровые топографические карты (ЦТК) – это топографические карты, представленные в цифровом виде, то есть в виде набора данных, хранящихся в компьютерных файлах. Эти данные описывают пространственное положение и атрибуты объектов местности. ЦТК не являются просто отсканированными изображениями бумажных карт, а представляют собой структурированные базы данных, где каждый объект (точка, линия, полигон) имеет свои координаты и набор характеристик.

   Преимущества ЦТК:

   • Возможность быстрого поиска и анализа информации.
   • Легкость обновления и редактирования данных.
   • Интеграция с другими информационными системами (ГИС).
   • Возможность создания различных тематических карт на основе одних и тех же данных.
   • Автоматизация процессов картографирования и проектирования.

   Электронные топографические карты (ЭТК) – это, по сути, разновидность цифровых карт, предназначенных для использования на электронных устройствах (компьютерах, планшетах, смартфонах). Часто под ЭТК понимают растровые изображения отсканированных бумажных карт или векторные ЦТК, которые отображаются на экране. Они могут быть интерактивными, позволяя пользователю масштабировать, перемещать, запрашивать информацию об объектах.

   Отличия ЦТК от ЭТК (хотя термины часто используются как синонимы):

   • ЦТК – это более широкое понятие, охватывающее саму структуру данных и их хранение. Это "сырые" данные, которые могут быть использованы для создания различных представлений.
   • ЭТК – это, как правило, уже готовый продукт для визуализации