Решение определителя матрицы 3x3 методом разложения

Для того чтобы найти определитель матрицы \( A \) третьего порядка, воспользуемся методом разложения по первой строке. Дана матрица: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 8 & 3 & -6 \\ 4 & 1 & -3 \end{pmatrix} \] Формула разложения определителя по элементам первой строки выглядит так: \[ \Delta = a_{11} \cdot A_{11} + a_{12} \cdot A_{12} + a_{13} \cdot A_{13} \] где \( a_{ij} \) — элементы строки, а \( A_{ij} \) — их алгебраические дополнения. Вычислим пошагово: 1. Умножаем первый элемент первой строки \( (1) \) на определитель матрицы, которая остается при вычеркивании первой строки и первого столбца: \[ 1 \cdot \begin{vmatrix} 3 & -6 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} = 1 \cdot (3 \cdot (-3) - (-6) \cdot 1) = 1 \cdot (-9 + 6) = -3 \] 2. Вычитаем второй элемент первой строки \( (1) \), умноженный на определитель матрицы, которая остается при вычеркивании первой строки и второго столбца (знак минус берется по правилу шахматной доски): \[ - 1 \cdot \begin{vmatrix} 8 & -6 \\ 4 & -3 \end{vmatrix} = - 1 \cdot (8 \cdot (-3) - (-6) \cdot 4) = - 1 \cdot (-24 + 24) = - 1 \cdot 0 = 0 \] 3. Прибавляем третий элемент первой строки \( (-1) \), умноженный на определитель матрицы, которая остается при вычеркивании первой строки и третьего столбца: \[ + (-1) \cdot \begin{vmatrix} 8 & 3 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = - 1 \cdot (8 \cdot 1 - 3 \cdot 4) = - 1 \cdot (8 - 12) = - 1 \cdot (-4) = 4 \] 4. Складываем полученные результаты: \[ \Delta = -3 - 0 + 4 = 1 \] Также можно воспользоваться правилом треугольника (правилом Саррюса): \[ \Delta = (1 \cdot 3 \cdot (-3)) + (1 \cdot (-6) \cdot 4) + ((-1) \cdot 8 \cdot 1) - ((-1) \cdot 3 \cdot 4) - (1 \cdot 8 \cdot (-3)) - (1 \cdot (-6) \cdot 1) \] \[ \Delta = (-9) + (-24) + (-8) - (-12) - (-24) - (-6) \] \[ \Delta = -9 - 24 - 8 + 12 + 24 + 6 \] \[ \Delta = -41 + 42 = 1 \] Ответ: Определитель матрицы \( \Delta = 1 \).