Решение системы уравнений методами Гаусса и Крамера

Для решения системы методом Гаусса запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем её к ступенчатому виду. Расширенная матрица: \[ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 8 & 3 & -6 & 2 \\ 4 & 1 & -3 & 3 \end{array} \right) \] 1. Обнулим элементы в первом столбце под главной диагональю. Для этого из второй строки вычтем первую строку, умноженную на 8 (\( R_2 - 8R_1 \)), а из третьей строки вычтем первую строку, умноженную на 4 (\( R_3 - 4R_1 \)): \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 8-8 & 3-8 & -6-(-8) & 2-8 \\ 4-4 & 1-4 & -3-(-4) & 3-4 \end{pmatrix} \rightarrow \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & -5 & 2 & -6 \\ 0 & -3 & 1 & -1 \end{array} \right) \] 2. Обнулим элемент во втором столбце под главной диагональю. Чтобы было удобнее считать, сначала умножим вторую строку на -1, а третью на -1 (изменим знаки): \[ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 5 & -2 & 6 \\ 0 & 3 & -1 & 1 \end{array} \right) \] Теперь из третьей строки вычтем вторую строку, умноженную на \( \frac{3}{5} \) (\( R_3 - 0.6R_2 \)): \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 5 & -2 & 6 \\ 0 & 3-3 & -1-(-1.2) & 1-3.6 \end{pmatrix} \rightarrow \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 5 & -2 & 6 \\ 0 & 0 & 0.2 & -2.6 \end{array} \right) \] 3. Обратный ход. Запишем полученную ступенчатую систему: \[ \begin{cases} x_1 + x_2 - x_3 = 1 \\ 5x_2 - 2x_3 = 6 \\ 0.2x_3 = -2.6 \end{cases} \] Из третьего уравнения находим \( x_3 \): \[ x_3 = \frac{-2.6}{0.2} = -13 \] Подставляем \( x_3 \) во второе уравнение: \[ 5x_2 - 2 \cdot (-13) = 6 \] \[ 5x_2 + 26 = 6 \] \[ 5x_2 = 6 - 26 \] \[ 5x_2 = -20 \] \[ x_2 = -4 \] Подставляем \( x_1 \) и \( x_2 \) в первое уравнение: \[ x_1 + (-4) - (-13) = 1 \] \[ x_1 - 4 + 13 = 1 \] \[ x_1 + 9 = 1 \] \[ x_1 = 1 - 9 \] \[ x_1 = -8 \] Ответ: \( x_1 = -8, x_2 = -4, x_3 = -13 \).