Решение системы линейных уравнений методом Крамера и Гаусса

Для решения системы линейных уравнений методом Крамера необходимо вычислить главный определитель матрицы системы \( \Delta \) и три вспомогательных определителя \( \Delta_1, \Delta_2, \Delta_3 \). Система уравнений: \[ \begin{cases} 1x_1 + 1x_2 - 1x_3 = 1 \\ 8x_1 + 3x_2 - 6x_3 = 2 \\ 4x_1 + 1x_2 - 3x_3 = 3 \end{cases} \] 1. Вычислим главный определитель \( \Delta \): \[ \Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 8 & 3 & -6 \\ 4 & 1 & -3 \end{vmatrix} \] Разложим по первой строке: \[ \Delta = 1 \cdot \begin{vmatrix} 3 & -6 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 8 & -6 \\ 4 & -3 \end{vmatrix} + (-1) \cdot \begin{vmatrix} 8 & 3 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} \] \[ \Delta = 1 \cdot (-9 - (-6)) - 1 \cdot (-24 - (-24)) - 1 \cdot (8 - 12) \] \[ \Delta = 1 \cdot (-3) - 1 \cdot 0 - 1 \cdot (-4) = -3 + 4 = 1 \] 2. Вычислим вспомогательный определитель \( \Delta_1 \) (заменяем первый столбец на столбец свободных членов): \[ \Delta_1 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 3 & -6 \\ 3 & 1 & -3 \end{vmatrix} \] \[ \Delta_1 = 1 \cdot \begin{vmatrix} 3 & -6 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -6 \\ 3 & -3 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} \] \[ \Delta_1 = 1 \cdot (-9 + 6) - 1 \cdot (-6 + 18) - 1 \cdot (2 - 9) \] \[ \Delta_1 = -3 - 12 + 7 = -8 \] 3. Вычислим вспомогательный определитель \( \Delta_2 \) (заменяем второй столбец на столбец свободных членов): \[ \Delta_2 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 8 & 2 & -6 \\ 4 & 3 & -3 \end{vmatrix} \] \[ \Delta_2 = 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -6 \\ 3 & -3 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 8 & -6 \\ 4 & -3 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 8 & 2 \\ 4 & 3 \end{vmatrix} \] \[ \Delta_2 = 1 \cdot (-6 + 18) - 1 \cdot (-24 + 24) - 1 \cdot (24 - 8) \] \[ \Delta_2 = 12 - 0 - 16 = -4 \] 4. Вычислим вспомогательный определитель \( \Delta_3 \) (заменяем третий столбец на столбец свободных членов): \[ \Delta_3 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 8 & 3 & 2 \\ 4 & 1 & 3 \end{vmatrix} \] \[ \Delta_3 = 1 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 8 & 2 \\ 4 & 3 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 8 & 3 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} \] \[ \Delta_3 = 1 \cdot (9 - 2) - 1 \cdot (24 - 8) + 1 \cdot (8 - 12) \] \[ \Delta_3 = 7 - 16 - 4 = -13 \] 5. Находим неизвестные по формулам Крамера: \[ x_1 = \frac{\Delta_1}{\Delta} = \frac{-8}{1} = -8 \] \[ x_2 = \frac{\Delta_2}{\Delta} = \frac{-4}{1} = -4 \] \[ x_3 = \frac{\Delta_3}{\Delta} = \frac{-13}{1} = -13 \] Ответ: \( x_1 = -8, x_2 = -4, x_3 = -13 \).