Решение системы уравнений методом Крамера (правило треугольника)

Для решения системы методом Крамера вычислим определители, используя правило треугольника (правило Саррюса). Система уравнений: \[ \begin{cases} 1x_1 + 1x_2 - 1x_3 = 1 \\ 8x_1 + 3x_2 - 6x_3 = 2 \\ 4x_1 + 1x_2 - 3x_3 = 3 \end{cases} \] 1. Вычислим главный определитель \( \Delta \): \[ \Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 8 & 3 & -6 \\ 4 & 1 & -3 \end{vmatrix} \] По правилу треугольника: \[ \Delta = (1 \cdot 3 \cdot (-3)) + (1 \cdot (-6) \cdot 4) + ((-1) \cdot 8 \cdot 1) - ((-1) \cdot 3 \cdot 4) - (1 \cdot 8 \cdot (-3)) - (1 \cdot (-6) \cdot 1) \] \[ \Delta = -9 - 24 - 8 - (-12) - (-24) - (-6) \] \[ \Delta = -9 - 24 - 8 + 12 + 24 + 6 = 1 \] 2. Вычислим \( \Delta_1 \) (заменяем 1-й столбец на свободные члены): \[ \Delta_1 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 3 & -6 \\ 3 & 1 & -3 \end{vmatrix} \] \[ \Delta_1 = (1 \cdot 3 \cdot (-3)) + (1 \cdot (-6) \cdot 3) + ((-1) \cdot 2 \cdot 1) - ((-1) \cdot 3 \cdot 3) - (1 \cdot 2 \cdot (-3)) - (1 \cdot (-6) \cdot 1) \] \[ \Delta_1 = -9 - 18 - 2 - (-9) - (-6) - (-6) \] \[ \Delta_1 = -9 - 18 - 2 + 9 + 6 + 6 = -8 \] 3. Вычислим \( \Delta_2 \) (заменяем 2-й столбец на свободные члены): \[ \Delta_2 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 8 & 2 & -6 \\ 4 & 3 & -3 \end{vmatrix} \] \[ \Delta_2 = (1 \cdot 2 \cdot (-3)) + (1 \cdot (-6) \cdot 4) + ((-1) \cdot 8 \cdot 3) - ((-1) \cdot 2 \cdot 4) - (1 \cdot 8 \cdot (-3)) - (1 \cdot (-6) \cdot 3) \] \[ \Delta_2 = -6 - 24 - 24 - (-8) - (-24) - (-18) \] \[ \Delta_2 = -6 - 24 - 24 + 8 + 24 + 18 = -4 \] 4. Вычислим \( \Delta_3 \) (заменяем 3-й столбец на свободные члены): \[ \Delta_3 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 8 & 3 & 2 \\ 4 & 1 & 3 \end{vmatrix} \] \[ \Delta_3 = (1 \cdot 3 \cdot 3) + (1 \cdot 2 \cdot 4) + (1 \cdot 8 \cdot 1) - (1 \cdot 3 \cdot 4) - (1 \cdot 8 \cdot 3) - (1 \cdot 2 \cdot 1) \] \[ \Delta_3 = 9 + 8 + 8 - 12 - 24 - 2 \] \[ \Delta_3 = 25 - 38 = -13 \] 5. Находим корни системы: \[ x_1 = \frac{\Delta_1}{\Delta} = \frac{-8}{1} = -8 \] \[ x_2 = \frac{\Delta_2}{\Delta} = \frac{-4}{1} = -4 \] \[ x_3 = \frac{\Delta_3}{\Delta} = \frac{-13}{1} = -13 \] Ответ: \( x_1 = -8, x_2 = -4, x_3 = -13 \).