Решение: Ответы на вопросы по геометрии (Глава I)

Вот подробные ответы на вопросы, оформленные так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь школьнику. ВОПРОСЫ К ГЛАВЕ I 1. Верно ли утверждение: если две прямые не имеют общих точек, то они параллельны? Ответ: Нет, это утверждение не всегда верно. Две прямые, которые не имеют общих точек, могут быть параллельными, если они лежат в одной плоскости. Однако, если эти прямые лежат в разных плоскостях (то есть являются скрещивающимися прямыми), то они также не имеют общих точек, но при этом не являются параллельными. Параллельные прямые по определению лежат в одной плоскости и не пересекаются. 2. Точка \(M\) не лежит на прямой \(a\). Сколько прямых, не пересекающих прямую \(a\), проходит через точку \(M\)? Сколько из этих прямых параллельны прямой \(a\)? Ответ: Через точку \(M\), не лежащую на прямой \(a\), можно провести бесконечно много прямых, которые не пересекают прямую \(a\). Эти прямые могут быть: а) Параллельными прямой \(a\). Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. б) Скрещивающимися с прямой \(a\). Через точку \(M\) можно провести бесконечно много прямых, которые не лежат в одной плоскости с прямой \(a\) и, следовательно, не пересекают её. Таким образом, через точку \(M\) проходит одна прямая, параллельная прямой \(a\). Всего прямых, не пересекающих прямую \(a\), проходящих через точку \(M\), бесконечно много. 3. Прямые \(a\) и \(c\) параллельны, а прямые \(a\) и \(b\) пересекаются. Могут ли прямые \(b\) и \(c\) быть параллельными? Ответ: Нет, прямые \(b\) и \(c\) не могут быть параллельными. Поскольку прямые \(a\) и \(c\) параллельны, они лежат в одной плоскости. Прямая \(b\) пересекает прямую \(a\), значит, прямые \(a\) и \(b\) также лежат в одной плоскости. Следовательно, все три прямые \(a\), \(b\) и \(c\) лежат в одной плоскости. Если бы прямые \(b\) и \(c\) были параллельными, то через точку пересечения прямых \(a\) и \(b\) проходили бы две прямые (прямая \(a\) и прямая \(b\)), параллельные прямой \(c\), что противоречит аксиоме о параллельных прямых (через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной). Поэтому прямые \(b\) и \(c\) обязательно пересекаются. 4. Прямая \(a\) параллельна плоскости \(\alpha\). Верно ли, что эта прямая: а) не пересекает ни одну прямую, лежащую в плоскости \(\alpha\); б) параллельна любой прямой, лежащей в плоскости \(\alpha\); в) параллельна некоторой прямой, лежащей в плоскости \(\alpha\)? Ответ: а) Нет, это неверно. Прямая \(a\), параллельная плоскости \(\alpha\), не пересекает ни одну прямую, лежащую в плоскости \(\alpha\), которая параллельна прямой \(a\). Однако она может пересекать прямые, лежащие в плоскости \(\alpha\), если эти прямые не параллельны \(a\). б) Нет, это неверно. Прямая \(a\), параллельная плоскости \(\alpha\), параллельна только тем прямым, которые лежат в плоскости \(\alpha\) и параллельны \(a\). Она не параллельна всем прямым в плоскости \(\alpha\). Например, она может быть скрещивающейся с некоторыми прямыми в плоскости \(\alpha\). в) Да, это верно. Если прямая \(a\) параллельна плоскости \(\alpha\), то в плоскости \(\alpha\) существует хотя бы одна прямая, параллельная прямой \(a\). Например, если провести плоскость через прямую \(a\) и любую точку в плоскости \(\alpha\), то линия пересечения этих двух плоскостей будет прямой, параллельной \(a\) и лежащей в \(\alpha\). 5. Прямая \(a\) параллельна плоскости \(\alpha\). Сколько прямых, лежащих в плоскости \(\alpha\), параллельны прямой \(a\)? Сколько прямых, лежащих в плоскости \(\alpha\), пересекают друг другу эти прямые, лежащие в плоскости \(\alpha\)? Ответ: Если прямая \(a\) параллельна плоскости \(\alpha\), то в плоскости \(\alpha\) существует бесконечно много прямых, параллельных прямой \(a\). Представьте себе плоскость \(\alpha\) как пол, а прямую \(a\) как линию на потолке, параллельную полу. Тогда любая линия на полу, параллельная этой линии на потолке, будет параллельна прямой \(a\). Таких линий можно провести бесконечно много. Прямые, лежащие в плоскости \(\alpha\) и параллельные прямой \(a\), сами параллельны друг другу. Поэтому они не пересекают друг друга. Однако, если вопрос подразумевает "сколько прямых, лежащих в плоскости \(\alpha\), пересекают *другие* прямые, лежащие в плоскости \(\alpha\) и параллельные \(a\)", то ответ будет: бесконечно много прямых в плоскости \(\alpha\) пересекают эти параллельные прямые. Любая прямая в плоскости \(\alpha\), не параллельная прямой \(a\), будет пересекать все прямые, параллельные \(a\) и лежащие в \(\alpha\). 6. Прямая \(a\) пересекает плоскость \(\alpha\). Лежит ли в плоскости \(\alpha\) хоть одна прямая, параллельная ей? Ответ: Нет, в плоскости \(\alpha\) не лежит ни одной прямой, параллельной прямой \(a\). Если прямая \(a\) пересекает плоскость \(\alpha\), то она имеет с этой плоскостью одну общую точку. Если бы в плоскости \(\alpha\) лежала прямая \(b\), параллельная прямой \(a\), то прямые \(a\) и \(b\) лежали бы в одной плоскости. Но прямая \(a\) пересекает плоскость \(\alpha\), а прямая \(b\) лежит в плоскости \(\alpha\). Это означает, что прямая \(a\) пересекала бы прямую \(b\) (или была бы с ней скрещивающейся, если бы они не лежали в одной плоскости, но мы уже установили, что они лежат в одной плоскости). Поскольку прямая \(a\) пересекает плоскость \(\alpha\), она пересекает любую прямую в этой плоскости, которая лежит с ней в одной плоскости и не параллельна ей. Если бы в плоскости \(\alpha\) была прямая, параллельная \(a\), то прямая \(a\) не могла бы пересекать плоскость \(\alpha\), так как она была бы параллельна этой прямой в плоскости \(\alpha\). Это противоречие. Следовательно, в плоскости \(\alpha\) нет прямых, параллельных прямой \(a\). 7. Одна из двух параллельных прямых некоторой плоскости. Верно ли утверждение, что и вторая прямая параллельна этой плоскости? Ответ: Да, это утверждение верно. Пусть даны две параллельные прямые \(a\) и \(b\). Пусть прямая \(a\) параллельна некоторой плоскости \(\alpha\). По определению, если прямая параллельна плоскости, то она не имеет с этой плоскостью общих точек. Так как прямые \(a\) и \(b\) параллельны, они лежат в одной плоскости \(\beta\). Если прямая \(a\) параллельна плоскости \(\alpha\), то все точки прямой \(a\) находятся вне плоскости \(\alpha\). Поскольку прямая \(b\) параллельна прямой \(a\), и они лежат в одной плоскости \(\beta\), то прямая \(b\) также не может иметь общих точек с плоскостью \(\alpha\). Если бы прямая \(b\) пересекала плоскость \(\alpha\), то она имела бы с ней общую точку. Но тогда прямая \(a\) (параллельная \(b\)) также должна была бы пересекать плоскость \(\alpha\) (или быть с ней скрещивающейся, что невозможно, так как они параллельны и лежат в одной плоскости), что противоречит условию, что \(a\) параллельна \(\alpha\). Следовательно, если одна из двух параллельных прямых параллельна плоскости, то и вторая прямая также параллельна этой плоскости.