Решение задачи №12
Для каждого набора данных найдем среднее арифметическое \( \bar{x} \), составим таблицу отклонений \( x_i - \bar{x} \) и их квадратов \( (x_i - \bar{x})^2 \), а затем вычислим дисперсию \( D \).
а) Набор: -1, 0, 4.
Среднее арифметическое:
\[ \bar{x} = \frac{-1 + 0 + 4}{3} = \frac{3}{3} = 1 \]
Таблица:
| Число \( x_i \) | -1 | 0 | 4 |
| Отклонение \( x_i - \bar{x} \) | -2 | -1 | 3 |
| Квадрат отклонения \( (x_i - \bar{x})^2 \) | 4 | 1 | 9 |
Дисперсия:
\[ D = \frac{4 + 1 + 9}{3} = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} \approx 4,67 \]
б) Набор: 2, 3, 7.
Среднее арифметическое:
\[ \bar{x} = \frac{2 + 3 + 7}{3} = \frac{12}{3} = 4 \]
Таблица:
| Число \( x_i \) | 2 | 3 | 7 |
| Отклонение \( x_i - \bar{x} \) | -2 | -1 | 3 |
| Квадрат отклонения \( (x_i - \bar{x})^2 \) | 4 | 1 | 9 |
Дисперсия:
\[ D = \frac{4 + 1 + 9}{3} = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} \approx 4,67 \]
в) Набор: -3, 1, 2, 4.
Среднее арифметическое:
\[ \bar{x} = \frac{-3 + 1 + 2 + 4}{4} = \frac{4}{4} = 1 \]
Таблица:
| Число \( x_i \) | -3 | 1 | 2 | 4 |
| Отклонение \( x_i - \bar{x} \) | -4 | 0 | 1 | 3 |
| Квадрат отклонения \( (x_i - \bar{x})^2 \) | 16 | 0 | 1 | 9 |
Дисперсия:
\[ D = \frac{16 + 0 + 1 + 9}{4} = \frac{26}{4} = 6,5 \]
г) Набор: 2, 6, 7, 5.
Среднее арифметическое:
\[ \bar{x} = \frac{2 + 6 + 7 + 5}{4} = \frac{20}{4} = 5 \]
Таблица:
| Число \( x_i \) | 2 | 6 | 7 | 5 |
| Отклонение \( x_i - \bar{x} \) | -3 | 1 | 2 | 0 |
| Квадрат отклонения \( (x_i - \bar{x})^2 \) | 9 | 1 | 4 | 0 |
Дисперсия:
\[ D = \frac{9 + 1 + 4 + 0}{4} = \frac{14}{4} = 3,5 \]
д) Набор: -2, -1, 1, 2, 5.
Среднее арифметическое:
\[ \bar{x} = \frac{-2 - 1 + 1 + 2 + 5}{5} = \frac{5}{5} = 1 \]
Таблица:
| Число \( x_i \) | -2 | -1 | 1 | 2 | 5 |
| Отклонение \( x_i - \bar{x} \) | -3 | -2 | 0 | 1 | 4 |
| Квадрат отклонения \( (x_i - \bar{x})^2 \) | 9 | 4 | 0 | 1 | 16 |
Дисперсия:
\[ D = \frac{9 + 4 + 0 + 1 + 16}{5} = \frac{30}{5} = 6 \]
е) Набор: -1, -3, -2, 3, 3.
Среднее арифметическое:
\[ \bar{x} = \frac{-1 - 3 - 2 + 3 + 3}{5} = \frac{0}{5} = 0 \]
Таблица:
| Число \( x_i \) | -1 | -3 | -2 | 3 | 3 |
| Отклонение \( x_i - \bar{x} \) | -1 | -3 | -2 | 3 | 3 |
| Квадрат отклонения \( (x_i - \bar{x})^2 \) | 1 | 9 | 4 | 9 | 9 |
Дисперсия:
\[ D = \frac{1 + 9 + 4 + 9 + 9}{5} = \frac{32}{5} = 6,4 \]
