Дано:
Сила \(P = 10 \text{ кН}\)
Угол \(\alpha = 60^\circ\)
Найти:
Реакции опор \(R_A\) и \(R_B\)
Решение:
Для определения реакций опор фермы мы будем использовать уравнения равновесия. Ферма находится в равновесии, поэтому сумма всех сил и моментов, действующих на неё, должна быть равна нулю. 1. Определим тип опор и их реакции: * Опора A - шарнирно-неподвижная. Она имеет две реакции: горизонтальную \(H_A\) и вертикальную \(V_A\). * Опора B - шарнирно-подвижная. Она имеет одну реакцию, перпендикулярную опорной поверхности. В данном случае, это вертикальная реакция \(V_B\). 2. Выберем систему координат: Обычно выбирают горизонтальную ось X и вертикальную ось Y. 3. Составим уравнения равновесия: * Сумма проекций всех сил на ось X равна нулю: \[\sum F_x = 0\] На ось X действуют горизонтальная реакция \(H_A\) и горизонтальная составляющая силы \(P\). Сила \(P\) направлена горизонтально влево, поэтому её проекция на ось X будет отрицательной. \[H_A - P = 0\] \[H_A = P\] Подставим значение \(P\): \[H_A = 10 \text{ кН}\] * Сумма проекций всех сил на ось Y равна нулю: \[\sum F_y = 0\] На ось Y действуют вертикальные реакции \(V_A\) и \(V_B\). \[V_A + V_B = 0\] Это уравнение содержит две неизвестные, поэтому нам нужно ещё одно уравнение. * Сумма моментов всех сил относительно любой точки равна нулю: \[\sum M = 0\] Удобно выбрать точку, через которую проходит как можно больше неизвестных сил, чтобы они не создавали момент. Выберем точку A. Момент силы относительно точки равен произведению силы на плечо (кратчайшее расстояние от точки до линии действия силы). Моменты, вращающие по часовой стрелке, будем считать положительными, против часовой стрелки - отрицательными. Рассмотрим моменты относительно точки A: * Силы \(H_A\) и \(V_A\) проходят через точку A, поэтому их моменты равны нулю. * Сила \(P\) создает момент относительно точки A. Плечо силы \(P\) - это вертикальное расстояние от точки A до линии действия силы \(P\). Из рисунка видно, что это расстояние равно высоте первого треугольника. Высота треугольника с углом \(60^\circ\) и горизонтальной стороной \(a\) (расстояние между узлами) может быть найдена как \(a \cdot \tan(60^\circ)\) или \(a \cdot \sin(60^\circ)\) если \(a\) - это наклонная сторона. Посмотрим на рисунок: горизонтальное расстояние между узлами равно \(a\). Угол \(60^\circ\) показан между нижней горизонтальной балкой и наклонной балкой 1. Это означает, что высота первого узла над точкой A равна \(a \cdot \tan(60^\circ)\). Однако, на рисунке показано, что сила \(P\) приложена к узлу, который находится на расстоянии \(a\) по горизонтали от точки A и на некоторой высоте. Давайте внимательно посмотрим на геометрию фермы. Угол \(60^\circ\) показан в нижнем левом углу, между элементом 2 и элементом 1. Если горизонтальное расстояние между узлами равно \(a\), то высота узла, к которому приложена сила \(P\), равна \(a \cdot \tan(60^\circ)\). Пусть \(h\) - высота узла, к которому приложена сила \(P\). Из геометрии первого треугольника (с углом \(60^\circ\)): \[\tan(60^\circ) = \frac{h}{a}\] \[h = a \cdot \tan(60^\circ)\] \[h = a \cdot \sqrt{3}\] Сила \(P\) создает момент против часовой стрелки, поэтому он будет отрицательным. Момент от \(P\): \(-P \cdot h = -P \cdot a \cdot \sqrt{3}\) * Сила \(V_B\) создает момент относительно точки A. Плечо силы \(V_B\) - это горизонтальное расстояние от точки A до линии действия силы \(V_B\). Из рисунка видно, что это расстояние равно \(6a\). Сила \(V_B\) создает момент по часовой стрелке, поэтому он будет положительным. Момент от \(V_B\): \(V_B \cdot 6a\) Теперь запишем уравнение моментов: \[\sum M_A = 0\] \[-P \cdot h + V_B \cdot 6a = 0\] \[-P \cdot a \cdot \sqrt{3} + V_B \cdot 6a = 0\] Разделим всё на \(a\) (предполагая, что \(a \neq 0\)): \[-P \cdot \sqrt{3} + V_B \cdot 6 = 0\] \[V_B \cdot 6 = P \cdot \sqrt{3}\] \[V_B = \frac{P \cdot \sqrt{3}}{6}\] Подставим значение \(P = 10 \text{ кН}\): \[V_B = \frac{10 \text{ кН} \cdot \sqrt{3}}{6}\] \[V_B = \frac{10 \cdot 1.732}{6}\] \[V_B = \frac{17.32}{6}\] \[V_B \approx 2.887 \text{ кН}\] 4. Найдем \(V_A\) из уравнения \(\sum F_y = 0\): \[V_A + V_B = 0\] \[V_A = -V_B\] \[V_A = -2.887 \text{ кН}\] Отрицательное значение \(V_A\) означает, что наше первоначальное предположение о направлении \(V_A\) было неверным. На самом деле, реакция \(V_A\) направлена вниз.Ответ:
Горизонтальная реакция в опоре A: \(H_A = 10 \text{ кН}\) (направлена вправо)
Вертикальная реакция в опоре A: \(V_A = 2.887 \text{ кН}\) (направлена вниз)
Вертикальная реакция в опоре B: \(V_B = 2.887 \text{ кН}\) (направлена вверх)
Проверка:
Можно проверить, взяв сумму моментов относительно точки B. \[\sum M_B = 0\] * Момент от \(V_A\): \(V_A \cdot 6a\) (по часовой стрелке, если \(V_A\) направлена вверх, или против часовой, если вниз) * Момент от \(P\): \(P \cdot h\) (по часовой стрелке) Если \(V_A\) направлена вниз, то момент от \(V_A\) относительно B будет по часовой стрелке: \(V_A \cdot 6a\). Момент от \(P\) относительно B будет по часовой стрелке: \(P \cdot h\). Значит, если \(V_A\) направлена вниз, то: \[V_A \cdot 6a + P \cdot h = 0\] \[V_A \cdot 6a + P \cdot a \cdot \sqrt{3} = 0\] \[V_A \cdot 6 = -P \cdot \sqrt{3}\] \[V_A = -\frac{P \cdot \sqrt{3}}{6}\] \[V_A = -\frac{10 \cdot \sqrt{3}}{6} \approx -2.887 \text{ кН}\] Это подтверждает, что \(V_A\) направлена вниз и равна по модулю \(V_B\). Таким образом, реакции опор найдены верно.