Решение задачи: Углы треугольника ABC и внешний угол

Задача 2. В треугольнике \(ABC\) углы относятся друг к другу как \(3:7:8\). а) Найти все углы треугольника \(ABC\). б) Найдите внешний угол при вершине \(C\). Решение: а) Пусть одна часть составляет \(x\) градусов. Тогда углы треугольника можно выразить следующим образом: \[ \angle A = 3x \] \[ \angle B = 7x \] \[ \angle C = 8x \] Так как сумма углов любого треугольника равна \(180^\circ\), составим и решим уравнение: \[ 3x + 7x + 8x = 180^\circ \] \[ 18x = 180^\circ \] \[ x = 180^\circ : 18 \] \[ x = 10^\circ \] Теперь найдем градусную меру каждого угла: \[ \angle A = 3 \cdot 10^\circ = 30^\circ \] \[ \angle B = 7 \cdot 10^\circ = 70^\circ \] \[ \angle C = 8 \cdot 10^\circ = 80^\circ \] б) Внешний угол при вершине \(C\) является смежным с внутренним углом \(C\). Сумма смежных углов равна \(180^\circ\). Обозначим внешний угол как \(\angle C_{ext}\): \[ \angle C_{ext} = 180^\circ - \angle C \] \[ \angle C_{ext} = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ \] Также, по свойству внешнего угла треугольника, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: \[ \angle C_{ext} = \angle A + \angle B = 30^\circ + 70^\circ = 100^\circ \] Ответ: а) \(30^\circ, 70^\circ, 80^\circ\); б) \(100^\circ\).