2. Произвести структурную группировку, построив интервальный ряд распределения с равными закрытыми интервалами для пяти групп заводов по размеру основных фондов.
Изучаемый признак: среднегодовая стоимость основных производственных фондов (ОФ).
Шаг 1: Определим минимальное и максимальное значения признака.
Минимальное значение ОФ: \( \text{ОФ}_{\text{мин}} = 1,0 \) млн. руб. (завод №21)
Максимальное значение ОФ: \( \text{ОФ}_{\text{макс}} = 7,0 \) млн. руб. (заводы №2 и №22)
Шаг 2: Определим размах вариации.
\[ \text{Размах вариации (R)} = \text{ОФ}_{\text{макс}} - \text{ОФ}_{\text{мин}} = 7,0 - 1,0 = 6,0 \text{ млн. руб.} \]Шаг 3: Определим величину интервала (h) для 5 групп.
\[ \text{Величина интервала (h)} = \frac{\text{Размах вариации}}{\text{Количество групп}} = \frac{6,0}{5} = 1,2 \text{ млн. руб.} \]Шаг 4: Построим интервалы.
Поскольку в задании указано "с равными закрытыми интервалами", это означает, что обе границы интервала включаются. Однако, для корректного распределения без дублирования, обычно применяется правило, что нижняя граница включается, а верхняя - нет, за исключением последнего интервала. Если строго следовать "закрытым интервалам", то при совпадении значения с верхней границей, оно может быть отнесено к следующему интервалу. Чтобы избежать неоднозначности, мы будем включать нижнюю границу и исключать верхнюю, кроме последнего интервала, который будет включать обе границы.
Интервалы будут следующими:
- [1,0; 2,2]
- (2,2; 3,4]
- (3,4; 4,6]
- (4,6; 5,8]
- (5,8; 7,0]
Давайте перепроверим, чтобы все значения попали в интервалы. Если строго "закрытые", то:
- [1,0; 2,2]
- [2,2; 3,4]
- [3,4; 4,6]
- [4,6; 5,8]
- [5,8; 7,0]
В этом случае, если значение равно 2,2, оно попадает и в первый, и во второй интервал. Чтобы избежать этого, обычно используют полуоткрытые интервалы. Но если требование "закрытые", то при совпадении с верхней границей, значение относят к следующему интервалу. Давайте примем, что верхняя граница включается в следующий интервал, кроме последнего.
Тогда интервалы будут:
- 1,0 - 2,2 (включая 1,0, но не включая 2,2)
- 2,2 - 3,4 (включая 2,2, но не включая 3,4)
- 3,4 - 4,6 (включая 3,4, но не включая 4,6)
- 4,6 - 5,8 (включая 4,6, но не включая 5,8)
- 5,8 - 7,0 (включая 5,8 и 7,0)
Это стандартный подход для интервальных рядов. Если же строго "закрытые" и все границы включаются, то нужно явно указать, к какому интервалу относится значение, совпадающее с границей. Для школьника удобнее использовать полуоткрытые интервалы, чтобы не было путаницы.
Давайте используем полуоткрытые интервалы, где нижняя граница включается, а верхняя исключается, кроме последнего интервала, который включает обе границы, чтобы охватить максимальное значение.
- [1,0; 2,2)
- [2,2; 3,4)
- [3,4; 4,6)
- [4,6; 5,8)
- [5,8; 7,0]
Шаг 5: Распределим заводы по группам и подсчитаем количество заводов в каждой группе (частоту).
Данные по стоимости основных фондов (ОФ):
3,0; 7,0; 2,0; 3,9; 3,3; 2,8; 6,5; 6,6; 2,0; 4,7; 2,7; 3,3; 3,0; 3,1; 3,1; 3,5; 3,1; 5,6; 3,5; 4,0; 1,0; 7,0; 4,5; 4,9
Отсортируем данные для удобства:
1,0; 2,0; 2,0; 2,7; 2,8; 3,0; 3,0; 3,1; 3,1; 3,1; 3,3; 3,3; 3,5; 3,5; 3,9; 4,0; 4,5; 4,7; 4,9; 5,6; 6,5; 6,6; 7,0; 7,0
Теперь распределим по интервалам:
Группа 1: [1,0; 2,2)
Заводы с ОФ от 1,0 до 2,199... млн. руб.
Значения: 1,0 (№21), 2,0 (№3), 2,0 (№9)
Количество заводов: 3
Группа 2: [2,2; 3,4)
Заводы с ОФ от 2,2 до 3,399... млн. руб.
Значения: 2,7 (№11), 2,8 (№6), 3,0 (№1), 3,0 (№13), 3,1 (№14), 3,1 (№15), 3,1 (№17), 3,3 (№5), 3,3 (№12)
Количество заводов: 9
Группа 3: [3,4; 4,6)
Заводы с ОФ от 3,4 до 4,599... млн. руб.
Значения: 3,5 (№16), 3,5 (№19), 3,9 (№4), 4,0 (№20), 4,5 (№23)
Количество заводов: 5
Группа 4: [4,6; 5,8)
Заводы с ОФ от 4,6 до 5,799... млн. руб.
Значения: 4,7 (№10), 4,9 (№24), 5,6 (№18)
Количество заводов: 3
Группа 5: [5,8; 7,0]
Заводы с ОФ от 5,8 до 7,0 млн. руб.
Значения: 6,5 (№7), 6,6 (№8), 7,0 (№2), 7,0 (№22)
Количество заводов: 4
Проверим общее количество заводов: \( 3 + 9 + 5 + 3 + 4 = 24 \). Все заводы учтены.
Шаг 6: Построим структурную группировку (интервальный ряд распределения).
Таблица 2. Структурная группировка заводов по размеру основных фондов
| Группа заводов по стоимости основных фондов, млн. руб. | Количество заводов (частота), ед. | Доля заводов (относительная частота), % | Накопленная частота, ед. | Накопленная относительная частота, % |
| [1,0; 2,2) | 3 | \( \frac{3}{24} \times 100\% = 12,5\% \) | 3 | 12,5% |
| [2,2; 3,4) | 9 | \( \frac{9}{24} \times 100\% = 37,5\% \) | \( 3 + 9 = 12 \) | \( 12,5\% + 37,5\% = 50,0\% \) |
| [3,4; 4,6) | 5 | \( \frac{5}{24} \times 100\% \approx 20,83\% \) | \( 12 + 5 = 17 \) | \( 50,0\% + 20,83\% = 70,83\% \) |
| [4,6; 5,8) | 3 | \( \frac{3}{24} \times 100\% = 12,5\% \) | \( 17 + 3 = 20 \) | \( 70,83\% + 12,5\% = 83,33\% \) |
| [5,8; 7,0] | 4 | \( \frac{4}{24} \times 100\% \approx 16,67\% \) | \( 20 + 4 = 24 \) | \( 83,33\% + 16,67\% = 100,00\% \) |
| Итого: | 24 | 100% |
ЗАДАЧА 72
Известно, что по заводу А физический объем сопоставимой продукции вырос в отчетном периоде на 15%, а затрат на производство увеличились на 12%. Требуется определить, как изменилась себестоимость единицы продукции.
Решение ЗАДАЧИ 72:
Обозначим:
- \( Q_0 \) – физический объем продукции в базисном периоде.
- \( Q_1 \) – физический объем продукции в отчетном периоде.
- \( Z_0 \) – общие затраты на производство в базисном периоде.
- \( Z_1 \) – общие затраты на производство в отчетном периоде.
- \( C_0 \) – себестоимость единицы продукции в базисном периоде.
- \( C_1 \) – себестоимость единицы продукции в отчетном периоде.
Формула себестоимости единицы продукции:
\[ C = \frac{Z}{Q} \]По условию задачи:
- Физический объем продукции вырос на 15%. Это означает, что \( Q_1 \) составляет 115% от \( Q_0 \). \[ Q_1 = Q_0 \times (1 + 0,15) = 1,15 \times Q_0 \]
- Затраты на производство увеличились на 12%. Это означает, что \( Z_1 \) составляет 112% от \( Z_0 \). \[ Z_1 = Z_0 \times (1 + 0,12) = 1,12 \times Z_0 \]
Теперь выразим себестоимость единицы продукции в отчетном периоде \( C_1 \):
\[ C_1 = \frac{Z_1}{Q_1} \]Подставим выражения для \( Z_1 \) и \( Q_1 \):
\[ C_1 = \frac{1,12 \times Z_0}{1,15 \times Q_0} \]Перегруппируем члены:
\[ C_1 = \frac{1,12}{1,15} \times \frac{Z_0}{Q_0} \]Мы знаем, что \( C_0 = \frac{Z_0}{Q_0} \). Подставим это в уравнение:
\[ C_1 = \frac{1,12}{1,15} \times C_0 \]Рассчитаем коэффициент изменения себестоимости:
\[ \frac{1,12}{1,15} \approx 0,9739 \]Это означает, что \( C_1 \approx 0,9739 \times C_0 \). Чтобы найти процентное изменение, нужно вычесть 1 из этого коэффициента и умножить на 100%:
\[ \text{Изменение в %} = (0,9739 - 1) \times 100\% = -0,0261 \times 100\% = -2,61\% \]Округлим до двух знаков после запятой.
Ответ:
Себестоимость единицы продукции уменьшилась на 2,61%.