Решение задачи на КПД газового цикла

Решим задачу №1 из представленных упражнений. Для остальных задач алгоритм будет аналогичным. Предположим, что рабочим телом является одноатомный идеальный газ. Задача №1 Дано: \(p_1 = 1 \cdot 10^5\) Па \(p_2 = 2 \cdot 10^5\) Па \(V_1 = 1\) л \(= 10^{-3}\) \(м^3\) \(V_2 = 2\) л \(= 2 \cdot 10^{-3}\) \(м^3\) Найти: \(\eta\) (КПД) Решение: 1. Работа газа за цикл \(A\) численно равна площади прямоугольника на \(p-V\) диаграмме: \[A = (p_2 - p_1)(V_2 - V_1)\] \[A = (2 \cdot 10^5 - 1 \cdot 10^5)(2 \cdot 10^{-3} - 1 \cdot 10^{-3}) = 10^5 \cdot 10^{-3} = 100 \text{ Дж}\] 2. Определим количество теплоты \(Q_{in}\), полученное газом. Газ получает тепло на участках 1-2 (изохорный нагрев) и 2-3 (изобарное расширение). Участок 1-2 (\(V = const\)): \[Q_{12} = \Delta U_{12} = \frac{3}{2} V_1 (p_2 - p_1)\] \[Q_{12} = 1.5 \cdot 10^{-3} \cdot (2 \cdot 10^5 - 1 \cdot 10^5) = 150 \text{ Дж}\] Участок 2-3 (\(p = const\)): \[Q_{23} = \Delta U_{23} + A_{23} = \frac{3}{2} p_2 (V_2 - V_1) + p_2 (V_2 - V_1) = \frac{5}{2} p_2 (V_2 - V_1)\] \[Q_{23} = 2.5 \cdot 2 \cdot 10^5 \cdot (2 \cdot 10^{-3} - 1 \cdot 10^{-3}) = 5 \cdot 10^5 \cdot 10^{-3} = 500 \text{ Дж}\] 3. Суммарное полученное тепло: \[Q_{in} = Q_{12} + Q_{23} = 150 + 500 = 650 \text{ Дж}\] 4. КПД цикла: \[\eta = \frac{A}{Q_{in}} \cdot 100\%\] \[\eta = \frac{100}{650} \cdot 100\% \approx 15.4\%\] Ответ: \(\eta \approx 15.4\%\) Краткие ответы для других задач (при условии одноатомного газа): Задача №2: \(A = \frac{1}{2} \cdot 3p_0 \cdot V_0 = 1.5 p_0 V_0\) \(Q_{in} = Q_{12} + Q_{23} = \frac{3}{2} V_0 (3p_0) + (\frac{3}{2} \cdot 4p_0 V_0 + 4p_0 V_0 - \frac{3}{2} \cdot 4p_0 V_0) = 4.5 p_0 V_0 + 4 p_0 V_0 = 8.5 p_0 V_0\) \(\eta = \frac{1.5}{8.5} \approx 17.6\%\) Задача №5: \(A = p_0 \cdot 2V_0 = 2 p_0 V_0\) \(Q_{in} = Q_{12} + Q_{23} = \frac{3}{2} V_0 p_0 + \frac{5}{2} \cdot 2p_0 \cdot 2V_0 = 1.5 p_0 V_0 + 10 p_0 V_0 = 11.5 p_0 V_0\) \(\eta = \frac{2}{11.5} \approx 17.4\%\)