Понятие матрицы

Понятие матрицы Матрицей размера \( m \times n \) называется прямоугольная таблица чисел, содержащая \( m \) строк и \( n \) столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами. Обозначаются матрицы заглавными латинскими буквами, например, \( A \), а их элементы — строчными буквами с индексами, где первый индекс указывает номер строки, а второй — номер столбца: \[ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix} \] Виды матриц: 1. Квадратная — если число строк равно числу столбцов (\( m = n \)). 2. Матрица-строка — состоит из одной строки. 3. Матрица-столбец — состоит из одного столбца. 4. Нулевая матрица — все элементы которой равны нулю. 5. Единичная матрица (\( E \)) — квадратная матрица, у которой на главной диагонали стоят единицы, а остальные элементы — нули. Операции над матрицами 1. Сложение матриц Складывать можно только матрицы одинакового размера. При сложении получается матрица того же размера, элементы которой равны сумме соответствующих элементов исходных матриц. Если \( C = A + B \), то: \[ c_{ij} = a_{ij} + b_{ij} \] 2. Умножение матрицы на число Чтобы умножить матрицу на число \( k \), нужно каждый элемент матрицы умножить на это число. Если \( B = k \cdot A \), то: \[ b_{ij} = k \cdot a_{ij} \] 3. Транспонирование матрицы Это операция, при которой строки матрицы заменяются ее столбцами с сохранением их номеров. Обозначается \( A^T \). 4. Умножение матриц Операция умножения матрицы \( A \) на матрицу \( B \) определена только тогда, когда число столбцов матрицы \( A \) равно числу строк матрицы \( B \). Элемент матрицы произведения \( C = A \cdot B \), стоящий в \( i \)-й строке и \( j \)-м столбце, равен сумме произведений элементов \( i \)-й строки матрицы \( A \) на соответствующие элементы \( j \)-го столбца матрицы \( B \): \[ c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \cdot b_{kj} \] Важно помнить, что в общем случае умножение матриц некоммутативно: \( A \cdot B \neq B \cdot A \).