Хорошо, давайте решим эту задачу.
Нам даны следующие значения:
Сопротивления:
\(R_1 = 390 \, \text{Ом}\)
\(R_2 = 60 \, \text{Ом}\)
\(R_3 = 90 \, \text{Ом}\)
\(R_4 = 120 \, \text{Ом}\)
\(R_5 = 165 \, \text{Ом}\)
\(R_6 = 67.5 \, \text{Ом}\)
Источники напряжения:
\(E_1 = 37.5 \, \text{В}\)
\(E_2 = 10.2 \, \text{В}\)
Источники тока:
\(I_{К1} = 0.04 \, \text{А}\)
\(I_{К2} = 0 \, \text{А}\)
Нам нужно найти токи во всех ветвях, используя:
1. Метод контурных токов.
2. Метод узловых потенциалов.
На схеме обозначены узлы b, c, d, m. Также есть источник тока \(I_1\), который, судя по схеме, является \(E_1\). Будем считать, что \(I_1\) - это источник напряжения \(E_1\). Источник тока \(I_{К2}\) равен нулю, что упрощает схему.
Давайте сначала перерисуем схему, чтобы было удобнее работать, и обозначим все ветви и узлы.
Схема имеет 6 ветвей и 4 узла (b, c, d, m). Выберем один узел в качестве опорного, например, узел d.
1. Метод контурных токов
Для применения метода контурных токов нам нужно выбрать независимые контуры и назначить им контурные токи.
Давайте выберем 3 независимых контура:
Контур I: через \(I_{К1}\), \(R_1\), \(E_1\), \(R_5\), \(R_6\)
Контур II: через \(R_5\), \(R_2\), \(I_{К2}\), \(E_2\), \(R_3\), \(R_6\)
Контур III: через \(R_6\), \(R_3\), \(R_4\)
Обозначим контурные токи как \(I_{КI}\), \(I_{КII}\), \(I_{КIII}\).
Направление контурных токов выберем по часовой стрелке.
Составление уравнений по второму закону Кирхгофа для контурных токов:
Уравнение для контура I (левый контур):
\(I_{К1}\) - это источник тока, поэтому его нужно преобразовать в источник напряжения или использовать метод узловых потенциалов.
Давайте переделаем схему, чтобы источники тока были преобразованы в источники напряжения, или используем другой подход для конков.
Лучше использовать стандартный подход:
1. Выбираем независимые контуры.
2. Назначаем контурные токи.
3. Составляем уравнения.
Давайте выберем контуры так:
Контур 1: \(I_{К1}\) - \(R_1\) - \(E_1\) - \(R_5\) - \(R_6\) - \(R_4\) - \(R_3\) - \(R_2\) - \(I_{К2}\) - \(E_2\)
Это слишком большой контур.
Давайте выберем более простые контуры:
Контур 1: \(R_1\), \(E_1\), \(R_5\) (верхний левый)
Контур 2: \(R_5\), \(R_2\), \(I_{К2}\), \(E_2\), \(R_3\) (верхний правый)
Контур 3: \(R_6\), \(R_3\), \(R_4\) (нижний)
Но у нас есть источники тока. Метод контурных токов удобнее применять, когда все источники тока преобразованы в источники напряжения, или когда источники тока находятся в ветвях, которые не входят в контуры.
Давайте преобразуем источники тока в источники напряжения.
Источник тока \(I_{К1}\) параллелен \(R_1\). Его можно преобразовать в источник напряжения \(E_{экв1} = I_{К1} \cdot R_1\) последовательно с \(R_1\).
\(E_{экв1} = 0.04 \, \text{А} \cdot 390 \, \text{Ом} = 15.6 \, \text{В}\). Направление \(E_{экв1}\) совпадает с направлением \(I_{К1}\).
Источник тока \(I_{К2}\) параллелен \(R_2\). Но \(I_{К2} = 0\), поэтому эта ветвь просто содержит \(R_2\).
Перерисованная схема (с преобразованным \(I_{К1}\)):
Теперь у нас есть:
Ветвь 1: \(E_{экв1}\) и \(R_1\)
Ветвь 2: \(E_1\)
Ветвь 3: \(R_5\)
Ветвь 4: \(R_2\)
Ветвь 5: \(E_2\)
Ветвь 6: \(R_3\)
Ветвь 7: \(R_6\)
Ветвь 8: \(R_4\)
Давайте выберем контуры:
Контур I: \(E_{экв1}\), \(R_1\), \(E_1\), \(R_5\) (левый верхний)
Контур II: \(R_5\), \(R_2\), \(E_2\), \(R_3\) (правый верхний)
Контур III: \(E_1\), \(R_5\), \(R_6\), \(R_4\) (левый нижний) - это не очень удобно, так как \(R_5\) уже в двух контурах.
Давайте выберем контуры, которые не пересекаются слишком сильно:
Контур 1 (левый): \(E_{экв1}\), \(R_1\), \(E_1\), \(R_5\)
Контур 2 (правый): \(R_5\), \(R_2\), \(E_2\), \(R_3\)
Контур 3 (нижний): \(R_6\), \(R_3\), \(R_4\)
Обозначим контурные токи: \(I_{К1}\), \(I_{К2}\), \(I_{К3}\) (не путать с источниками тока).
Направление всех контурных токов - по часовой стрелке.
Уравнения для контурных токов:
Контур 1 (через \(E_{экв1}\), \(R_1\), \(E_1\), \(R_5\)):
\(I_{К1} \cdot (R_1 + R_5) - I_{К2} \cdot R_5 = E_{экв1} - E_1\)
\(I_{К1} \cdot (390 + 165) - I_{К2} \cdot 165 = 15.6 - 37.5\)
\(555 \cdot I_{К1} - 165 \cdot I_{К2} = -21.9\) (Уравнение 1)
Контур 2 (через \(R_5\), \(R_2\), \(E_2\), \(R_3\)):
\(-I_{К1} \cdot R_5 + I_{К2} \cdot (R_5 + R_2 + R_3) - I_{К3} \cdot R_3 = E_2\)
\(-165 \cdot I_{К1} + I_{К2} \cdot (165 + 60 + 90) - I_{К3} \cdot 90 = 10.2\)
\(-165 \cdot I_{К1} + 315 \cdot I_{К2} - 90 \cdot I_{К3} = 10.2\) (Уравнение 2)
Контур 3 (через \(R_6\), \(R_3\), \(R_4\)):
\(-I_{К2} \cdot R_3 + I_{К3} \cdot (R_3 + R_4 + R_6) = 0\) (так как нет источников напряжения в этом контуре, если считать, что \(E_1\) и \(E_2\) не входят)
\(-90 \cdot I_{К2} + I_{К3} \cdot (90 + 120 + 67.5) = 0\)
\(-90 \cdot I_{К2} + 277.5 \cdot I_{К3} = 0\) (Уравнение 3)
Теперь у нас есть система из трех линейных уравнений:
1) \(555 \cdot I_{К1} - 165 \cdot I_{К2} = -21.9\)
2) \(-165 \cdot I_{К1} + 315 \cdot I_{К2} - 90 \cdot I_{К3} = 10.2\)
3) \(-90 \cdot I_{К2} + 277.5 \cdot I_{К3} = 0\)
Из Уравнения 3 выразим \(I_{К3}\):
\(277.5 \cdot I_{К3} = 90 \cdot I_{К2}\)
\(I_{К3} = \frac{90}{277.5} \cdot I_{К2} = \frac{180}{555} \cdot I_{К2} = \frac{12}{37} \cdot I_{К2} \approx 0.3243 \cdot I_{К2}\)
Подставим \(I_{К3}\) в Уравнение 2:
\(-165 \cdot I_{К1} + 315 \cdot I_{К2} - 90 \cdot (\frac{12}{37} \cdot I_{К2}) = 10.2\)
\(-165 \cdot I_{К1} + (315 - \frac{1080}{37}) \cdot I_{К2} = 10.2\)
\(-165 \cdot I_{К1} + (\frac{315 \cdot 37 - 1080}{37}) \cdot I_{К2} = 10.2\)
\(-165 \cdot I_{К1} + (\frac{11655 - 1080}{37}) \cdot I_{К2} = 10.2\)
\(-165 \cdot I_{К1} + \frac{10575}{37} \cdot I_{К2} = 10.2\)
\(-165 \cdot I_{К1} + 285.8108 \cdot I_{К2} \approx 10.2\) (Уравнение 4)
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
1) \(555 \cdot I_{К1} - 165 \cdot I_{К2} = -21.9\)
4) \(-165 \cdot I_{К1} + \frac{10575}{37} \cdot I_{К2} = 10.2\)
Умножим Уравнение 1 на 165, а Уравнение 4 на 555, чтобы исключить \(I_{К1}\):
\(165 \cdot (555 \cdot I_{К1} - 165 \cdot I_{К2}) = 165 \cdot (-21.9)\)
\(91575 \cdot I_{К1} - 27225 \cdot I_{К2} = -3613.5\)
\(555 \cdot (-165 \cdot I_{К1} + \frac{10575}{37} \cdot I_{К2}) = 555 \cdot 10.2\)
\(-91575 \cdot I_{К1} + \frac{5866125}{37} \cdot I_{К2} = 5661\)
\(-91575 \cdot I_{К1} + 158543.9189 \cdot I_{К2} \approx 5661\)
Сложим два новых уравнения:
\((-27225 + \frac{5866125}{37}) \cdot I_{К2} = -3613.5 + 5661\)
\((\frac{-1007325 + 5866125}{37}) \cdot I_{К2} = 2047.5\)
\((\frac{4858800}{37}) \cdot I_{К2} = 2047.5\)
\(131318.9189 \cdot I_{К2} \approx 2047.5\)
\(I_{К2} = \frac{2047.5}{131318.9189} \approx 0.0155919 \, \text{А}\)
Теперь найдем \(I_{К1}\) из Уравнения 1:
\(555 \cdot I_{К1} - 165 \cdot 0.0155919 = -21.9\)
\(555 \cdot I_{К1} - 2.5726635 = -21.9\)
\(555 \cdot I_{К1} = -21.9 + 2.5726635\)
\(555 \cdot I_{К1} = -19.3273365\)
\(I_{К1} = \frac{-19.3273365}{555} \approx -0.034824 \, \text{А}\)
Теперь найдем \(I_{К3}\):
\(I_{К3} = \frac{12}{37} \cdot I_{К2} = \frac{12}{37} \cdot 0.0155919 \approx 0.005065 \, \text{А}\)
Итак, контурные токи:
\(I_{К1} \approx -0.034824 \, \text{А}\)
\(I_{К2} \approx 0.0155919 \, \text{А}\)
\(I_{К3} \approx 0.005065 \, \text{А}\)
Расчет токов в ветвях:
Ток в ветви с \(R_1\) (обозначим \(I_{R1}\)):
\(I_{R1} = I_{К1} \approx -0.034824 \, \text{А}\) (направление тока против выбранного направления контурного тока \(I_{К1}\))
Но это ток в ветви с \(R_1\) после преобразования. Изначально \(I_{К1}\) был источником тока.
Ток через \(R_1\) (обозначим \(I_{R1}\)) - это ток, который течет через \(R_1\) в исходной схеме.
В исходной схеме ток через \(R_1\) равен \(I_{К1} - I_{R1\_branch}\), где \(I_{R1\_branch}\) - это ток, который течет через \(R_1\) в контуре.
Давайте вернемся к исходной схеме и обозначим токи в ветвях.
Обозначим токи в ветвях:
\(I_1\) - ток через \(R_1\) (вниз)
\(I_2\) - ток через \(E_1\) (вверх)
\(I_3\) - ток через \(R_5\) (вниз)
\(I_4\) - ток через \(R_2\) (вправо)
\(I_5\) - ток через \(E_2\) (вправо)
\(I_6\) - ток через \(R_3\) (вниз)
\(I_7\) - ток через \(R_6\) (вниз)
\(I_8\) - ток через \(R_4\) (вправо)
Теперь выразим эти токи через контурные токи:
\(I_1\) (ток через \(R_1\)) = \(I_{К1}\) (контурный ток) - \(I_{К1}\) (источник тока)
Это неверно. Метод контурных токов применяется к схеме без источников тока.
Если есть источники тока, то контурный ток, проходящий через ветвь с источником тока, равен значению этого источника тока.
Давайте переделаем выбор контуров, учитывая источники тока.
Если есть источник тока, то контурный ток, проходящий через ветвь с источником тока, равен значению этого источника тока.
Или, если источник тока находится в одной ветви, то можно считать, что ток в этой ветви известен.
Давайте используем другой подход для контурных токов, который учитывает источники тока напрямую.
Выберем контуры так, чтобы источники тока были частью контура, но не были общими для нескольких контуров, если это возможно.
Контур 1: \(R_1\), \(E_1\), \(R_5\) (ток \(I_{К1}\))
Контур 2
