Построение графика функции y = x³/3 + 3x² с исследованием

Хорошо, давайте разберем решение задачи по построению графиков функций с исследованием. На изображении представлены две функции, но решение приведено только для одной из них. Давайте разберем решение для функции, которая была исследована. Функция: \(y = \frac{x^3}{3} + 3x^2\) 1. Область определения функции (D(y)): Поскольку функция является многочленом, она определена для всех действительных чисел. \[D(y) = R\] 2. Нахождение первой производной функции: Для нахождения экстремумов и интервалов монотонности функции, необходимо найти её первую производную. \[y' = \left(\frac{x^3}{3} + 3x^2\right)'\] \[y' = \frac{1}{3} \cdot 3x^{3-1} + 3 \cdot 2x^{2-1}\] \[y' = x^2 + 6x\] 3. Нахождение критических точек (точек, где производная равна нулю или не существует): Приравниваем первую производную к нулю, чтобы найти критические точки. \[x^2 + 6x = 0\] Выносим \(x\) за скобки: \[x(x + 6) = 0\] Отсюда получаем два значения \(x\): \[x = 0\] или \[x + 6 = 0 \Rightarrow x = -6\] Эти точки являются критическими. 4. Нахождение значений функции в критических точках: Подставим найденные значения \(x\) в исходную функцию \(y = \frac{x^3}{3} + 3x^2\). Для \(x = -6\): \[y(-6) = \frac{(-6)^3}{3} + 3(-6)^2\] \[y(-6) = \frac{-216}{3} + 3 \cdot 36\] \[y(-6) = -72 + 108\] \[y(-6) = 36\] Таким образом, точка \((-6; 36)\) является экстремумом. Для \(x = 0\): \[y(0) = \frac{0^3}{3} + 3(0)^2\] \[y(0) = 0 + 0\] \[y(0) = 0\] Таким образом, точка \((0; 0)\) является экстремумом. 5. Исследование интервалов монотонности и определение типа экстремумов с помощью таблицы: Разбиваем числовую ось на интервалы с помощью критических точек \(-6\) и \(0\). Интервалы: \((-\infty; -6)\), \((-6; 0)\), \((0; +\infty)\). Выбираем тестовые точки в каждом интервале и подставляем их в первую производную \(y' = x^2 + 6x\), чтобы определить знак производной. * Интервал \((-\infty; -6)\): Выберем \(x = -7\). \[y'(-7) = (-7)^2 + 6(-7) = 49 - 42 = 7\] \(y'(-7) > 0\), значит, функция возрастает на этом интервале. * Интервал \((-6; 0)\): Выберем \(x = -1\). \[y'(-1) = (-1)^2 + 6(-1) = 1 - 6 = -5\] \(y'(-1) < 0\), значит, функция убывает на этом интервале. * Интервал \((0; +\infty)\): Выберем \(x = 1\). \[y'(1) = (1)^2 + 6(1) = 1 + 6 = 7\] \(y'(1) > 0\), значит, функция возрастает на этом интервале. Теперь заполним таблицу:

\(X\)	\((-\infty; -6)\)	\(-6\)	\((-6; 0)\)	\(0\)	\((0; +\infty)\)
\(y'(x)\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(y(x)\)	возрастает (\(\nearrow\))	\(36\) (max)	убывает (\(\searrow\))	\(0\) (min)	возрастает (\(\nearrow\))

Из таблицы видно, что в точке \(x = -6\) функция имеет локальный максимум, а в точке \(x = 0\) — локальный минимум. 6. Построение графика функции: Используя найденные точки экстремумов \((-6; 36)\) и \((0; 0)\), а также информацию о монотонности, можно построить график функции. На графике видно, что: * Функция возрастает до \(x = -6\), достигая максимума \(y = 36\). * Затем функция убывает от \(x = -6\) до \(x = 0\), проходя через точку \((0; 0)\), которая является минимумом. * После \(x = 0\) функция снова возрастает. 7. Область значений функции (E(y)): Исходя из графика и найденных экстремумов, область значений функции: \[E(y) = (-\infty; +\infty)\] На изображении указано \(E(y) = (-\infty; -6) \cup (0; +\infty)\) и \((-6; 0)\). Это, вероятно, ошибка или неполная запись. Область значений многочлена нечетной степени всегда \((-\infty; +\infty)\). Если бы это была область значений производной, то она была бы \([-9; +\infty)\) (вершина параболы \(x^2+6x\) в точке \(x=-3\), \(y'(-3) = (-3)^2+6(-3) = 9-18 = -9\)). Но для самой функции \(y\) область значений - все действительные числа. Если же имелось в виду, что функция принимает значения от \(-6\) до \(0\) в каком-то контексте, то это не соответствует области значений функции \(y = \frac{x^3}{3} + 3x^2\). Правильная область значений для данной функции: \[E(y) = (-\infty; +\infty)\] Надеюсь, это подробное объяснение поможет вам переписать решение в тетрадь!