Хорошо, давайте решим задачу по построению графика функции с исследованием.
Нам дана функция:
\[y = x^3 - 3x^2 + x + 5\]
Для построения графика функции, нам нужно провести её исследование.
1. Область определения функции
Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных значений \(x\).
Область определения: \(D(y) = (-\infty; +\infty)\).
2. Четность и нечетность функции
Проверим \(y(-x)\):
\[y(-x) = (-x)^3 - 3(-x)^2 + (-x) + 5 = -x^3 - 3x^2 - x + 5\]
Поскольку \(y(-x) \neq y(x)\) и \(y(-x) \neq -y(x)\), функция не является ни четной, ни нечетной.
3. Точки пересечения с осями координат
а) С осью \(Oy\) (при \(x=0\)):
\[y(0) = 0^3 - 3 \cdot 0^2 + 0 + 5 = 5\]
Точка пересечения с осью \(Oy\): \((0; 5)\).
б) С осью \(Ox\) (при \(y=0\)):
\[x^3 - 3x^2 + x + 5 = 0\]
Найти корни кубического уравнения аналитически может быть сложно. Мы можем попробовать найти целые корни среди делителей свободного члена (5): \(\pm 1, \pm 5\).
Проверим \(x = -1\):
\[(-1)^3 - 3(-1)^2 + (-1) + 5 = -1 - 3(1) - 1 + 5 = -1 - 3 - 1 + 5 = 0\]
Значит, \(x = -1\) является корнем уравнения.
Разделим многочлен \(x^3 - 3x^2 + x + 5\) на \((x+1)\) (например, методом Горнера или делением столбиком):
\[(x^3 - 3x^2 + x + 5) : (x+1) = x^2 - 4x + 5\]
Теперь нам нужно решить квадратное уравнение \(x^2 - 4x + 5 = 0\).
Найдем дискриминант:
\[D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4\]
Так как \(D < 0\), квадратное уравнение не имеет действительных корней.
Следовательно, функция пересекает ось \(Ox\) только в одной точке: \((-1; 0)\).
4. Производная функции и критические точки
Найдем первую производную функции:
\[y' = (x^3 - 3x^2 + x + 5)' = 3x^2 - 6x + 1\]
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
\[3x^2 - 6x + 1 = 0\]
Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью формулы дискриминанта:
\[D = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 36 - 12 = 24\]
\[x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 3} = \frac{6 \pm 2\sqrt{6}}{6} = \frac{3 \pm \sqrt{6}}{3}\]
Приближенные значения критических точек:
\[x_1 = \frac{3 - \sqrt{6}}{3} \approx \frac{3 - 2.45}{3} \approx \frac{0.55}{3} \approx 0.18\]
\[x_2 = \frac{3 + \sqrt{6}}{3} \approx \frac{3 + 2.45}{3} \approx \frac{5.45}{3} \approx 1.82\]
5. Интервалы монотонности и экстремумы
Разобьем числовую ось на интервалы с помощью критических точек \(x_1 \approx 0.18\) и \(x_2 \approx 1.82\):
\((-\infty; x_1)\), \((x_1; x_2)\), \((x_2; +\infty)\).
Выберем тестовые точки в каждом интервале и определим знак \(y'\):
а) Интервал \((-\infty; 0.18)\): возьмем \(x = 0\).
\[y'(0) = 3(0)^2 - 6(0) + 1 = 1 > 0\]
Функция возрастает на этом интервале.
б) Интервал \((0.18; 1.82)\): возьмем \(x = 1\).
\[y'(1) = 3(1)^2 - 6(1) + 1 = 3 - 6 + 1 = -2 < 0\]
Функция убывает на этом интервале.
в) Интервал \((1.82; +\infty)\): возьмем \(x = 2\).
\[y'(2) = 3(2)^2 - 6(2) + 1 = 3(4) - 12 + 1 = 12 - 12 + 1 = 1 > 0\]
Функция возрастает на этом интервале.
Теперь найдем значения функции в точках экстремума:
Локальный максимум при \(x_1 = \frac{3 - \sqrt{6}}{3}\):
\[y\left(\frac{3 - \sqrt{6}}{3}\right) = \left(\frac{3 - \sqrt{6}}{3}\right)^3 - 3\left(\frac{3 - \sqrt{6}}{3}\right)^2 + \left(\frac{3 - \sqrt{6}}{3}\right) + 5\]
Это довольно громоздкие вычисления. Для построения графика достаточно приближенных значений.
При \(x_1 \approx 0.18\):
\[y(0.18) \approx (0.18)^3 - 3(0.18)^2 + 0.18 + 5 \approx 0.0058 - 3(0.0324) + 0.18 + 5 \approx 0.0058 - 0.0972 + 0.18 + 5 \approx 5.0886\]
Локальный максимум: \(\left(\frac{3 - \sqrt{6}}{3}; y\left(\frac{3 - \sqrt{6}}{3}\right)\right) \approx (0.18; 5.09)\).
Локальный минимум при \(x_2 = \frac{3 + \sqrt{6}}{3}\):
\[y\left(\frac{3 + \sqrt{6}}{3}\right) = \left(\frac{3 + \sqrt{6}}{3}\right)^3 - 3\left(\frac{3 + \sqrt{6}}{3}\right)^2 + \left(\frac{3 + \sqrt{6}}{3}\right) + 5\]
При \(x_2 \approx 1.82\):
\[y(1.82) \approx (1.82)^3 - 3(1.82)^2 + 1.82 + 5 \approx 6.0286 - 3(3.3124) + 1.82 + 5 \approx 6.0286 - 9.9372 + 1.82 + 5 \approx 2.9114\]
Локальный минимум: \(\left(\frac{3 + \sqrt{6}}{3}; y\left(\frac{3 + \sqrt{6}}{3}\right)\right) \approx (1.82; 2.91)\).
6. Вторая производная, интервалы выпуклости и точки перегиба
Найдем вторую производную функции:
\[y'' = (3x^2 - 6x + 1)' = 6x - 6\]
Найдем точки перегиба, приравняв вторую производную к нулю:
\[6x - 6 = 0\]
\[6x = 6\]
\[x = 1\]
Это потенциальная точка перегиба.
Разобьем числовую ось на интервалы с помощью точки \(x = 1\):
\((-\infty; 1)\), \((1; +\infty)\).
Выберем тестовые точки в каждом интервале и определим знак \(y''\):
а) Интервал \((-\infty; 1)\): возьмем \(x = 0\).
\[y''(0) = 6(0) - 6 = -6 < 0\]
Функция выпукла вверх (вогнута вниз) на этом интервале.
б) Интервал \((1; +\infty)\): возьмем \(x = 2\).
\[y''(2) = 6(2) - 6 = 12 - 6 = 6 > 0\]
Функция выпукла вниз (вогнута вверх) на этом интервале.
Так как вторая производная меняет знак при \(x=1\), то \(x=1\) является точкой перегиба.
Найдем значение функции в точке перегиба:
\[y(1) = 1^3 - 3(1)^2 + 1 + 5 = 1 - 3 + 1 + 5 = 4\]
Точка перегиба: \((1; 4)\).
7. Асимптоты
Поскольку функция является многочленом, у неё нет вертикальных, горизонтальных или наклонных асимптот.
8. Построение графика
Теперь, имея все эти данные, мы можем построить график функции.
Соберем ключевые точки:
- Пересечение с \(Oy\): \((0; 5)\)
- Пересечение с \(Ox\): \((-1; 0)\)
- Локальный максимум: \((0.18; 5.09)\)
- Локальный минимум: \((1.82; 2.91)\)
- Точка перегиба: \((1; 4)\)
Интервалы монотонности:
- Возрастает: \((-\infty; 0.18)\) и \((1.82; +\infty)\)
- Убывает: \((0.18; 1.82)\)
Интервалы выпуклости:
- Выпукла вверх: \((-\infty; 1)\)
- Выпукла вниз: \((1; +\infty)\)
На основе этих данных можно нарисовать график. Начните с нанесения всех найденных точек на координатную плоскость, затем соедините их, учитывая интервалы возрастания/убывания и выпуклости/вогнутости.
(Здесь должен быть рисунок графика, но я не могу его нарисовать. Представьте себе график, который проходит через указанные точки, имеет локальный максимум в \((0.18; 5.09)\), локальный минимум в \((1.82; 2.91)\), и меняет направление выпуклости в \((1; 4)\)).
Надеюсь, это подробное исследование поможет вам построить график функции!
