Задача: Исследовать функцию и построить её график.
Дана функция: \(y = \frac{x^3}{3} + 3x^2\)
1. Область определения функции (D(y))
Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел.
\(D(y) = R\) (или \(D(y) = (-\infty; +\infty)\))
2. Нахождение первой производной функции (y')
Для нахождения производной используем правила дифференцирования:
Производная от \(x^n\) равна \(n \cdot x^{n-1}\).
\(y' = \left(\frac{x^3}{3}\right)' + (3x^2)'\)
\(y' = \frac{1}{3} \cdot 3x^{3-1} + 3 \cdot 2x^{2-1}\)
\(y' = x^2 + 6x\)
3. Нахождение критических точек (точек, где производная равна нулю)
Приравниваем первую производную к нулю:
\(x^2 + 6x = 0\)
Выносим \(x\) за скобки:
\(x(x + 6) = 0\)
Отсюда получаем два значения \(x\):
\(x = 0\) или \(x + 6 = 0\)
\(x = 0\) или \(x = -6\)
Это критические точки, в которых функция может иметь локальные экстремумы.
4. Вычисление значений функции в критических точках
Подставим найденные значения \(x\) в исходную функцию \(y = \frac{x^3}{3} + 3x^2\):
Для \(x = -6\):
\(f(-6) = \frac{(-6)^3}{3} + 3 \cdot (-6)^2\)
\(f(-6) = \frac{-216}{3} + 3 \cdot 36\)
\(f(-6) = -72 + 108\)
\(f(-6) = 36\)
Таким образом, точка \((-6; 36)\) является одной из экстремальных точек.
Для \(x = 0\):
\(f(0) = \frac{0^3}{3} + 3 \cdot 0^2\)
\(f(0) = 0 + 0\)
\(f(0) = 0\)
Таким образом, точка \((0; 0)\) является другой экстремальной точкой.
5. Исследование интервалов монотонности и определение типа экстремумов
Разбиваем числовую ось на интервалы с помощью критических точек \(-6\) и \(0\):
\((-\infty; -6)\), \((-6; 0)\), \((0; +\infty)\)
Выбираем тестовые точки в каждом интервале и подставляем их в первую производную \(y' = x^2 + 6x\), чтобы определить знак производной.
| \(X\) | \((-\infty; -6)\) | \(-6\) | \((-6; 0)\) | \(0\) | \((0; +\infty)\) |
| Тестовая точка | \(-7\) | \(-1\) | \(1\) | ||
| \(f'(x)\) | \((-7)^2 + 6(-7) = 49 - 42 = 7 > 0\) | \(0\) | \((-1)^2 + 6(-1) = 1 - 6 = -5 < 0\) | \(0\) | \((1)^2 + 6(1) = 1 + 6 = 7 > 0\) |
| Поведение \(f(x)\) | Возрастает (стрелка вверх) | Максимум | Убывает (стрелка вниз) | Минимум | Возрастает (стрелка вверх) |
| Значение \(f(x)\) | \(36\) | \(0\) |
Из таблицы видно:
- На интервале \((-\infty; -6)\) функция возрастает.
- В точке \(x = -6\) функция имеет локальный максимум, \(f(-6) = 36\).
- На интервале \((-6; 0)\) функция убывает.
- В точке \(x = 0\) функция имеет локальный минимум, \(f(0) = 0\).
- На интервале \((0; +\infty)\) функция возрастает.
6. Построение графика функции
Используя полученные данные:
- Точки экстремумов: \((-6; 36)\) (максимум) и \((0; 0)\) (минимум).
- Интервалы возрастания и убывания.
- Точка пересечения с осью \(y\) (при \(x=0\)): \((0; 0)\).
- Точки пересечения с осью \(x\) (при \(y=0\)):
\(\frac{x^3}{3} + 3x^2 = 0\)
\(x^2 \left(\frac{x}{3} + 3\right) = 0\)
\(x^2 = 0 \Rightarrow x = 0\)
\(\frac{x}{3} + 3 = 0 \Rightarrow \frac{x}{3} = -3 \Rightarrow x = -9\)
Точки пересечения с осью \(x\): \((0; 0)\) и \((-9; 0)\).
На графике, представленном на изображении, эти точки и поведение функции хорошо видны.
(Представьте, что здесь находится график, аналогичный тому, что на втором изображении, с отмеченными точками \((-9;0)\), \((-6;36)\), \((0;0)\) и соответствующими интервалами возрастания/убывания.)
7. Область значений функции (E(y))
Исходя из графика и поведения функции:
Функция убывает от \(\infty\) до \(36\), затем убывает от \(36\) до \(0\), затем возрастает от \(0\) до \(\infty\).
Таким образом, область значений функции:
\(E(y) = (-\infty; 36] \cup [0; +\infty)\)
(На изображении указано \(E(y) = (-\infty; -6) \cup (0; +\infty)\) и \((-6; 0)\). Это, вероятно, ошибка или неполная запись. Правильная область значений должна включать все значения \(y\), которые принимает функция. Максимальное значение \(y\) равно \(36\), минимальное \(0\). Поэтому \(y\) принимает все значения от \(-\infty\) до \(36\) и от \(0\) до \(+\infty\). Если функция непрерывна, то она принимает все значения между локальным максимумом и минимумом. В данном случае, функция принимает все значения от \(-\infty\) до \(+\infty\).
Давайте перепроверим.
При \(x \to -\infty\), \(y \to -\infty\).
При \(x \to +\infty\), \(y \to +\infty\).
Локальный максимум \(y = 36\) при \(x = -6\).
Локальный минимум \(y = 0\) при \(x = 0\).
Поскольку функция непрерывна и принимает значения от \(-\infty\) до \(36\) (включая \(36\)) и от \(0\) (включая \(0\)) до \(+\infty\), то она принимает все значения от \(-\infty\) до \(+\infty\).
Следовательно, \(E(y) = (-\infty; +\infty)\) или \(E(y) = R\).
Запись на изображении \(E(y) = (-\infty; -6) \cup (0; +\infty)\) и \((-6; 0)\) является неверной для области значений. Возможно, это попытка указать интервалы монотонности или что-то другое.
Надеюсь, это подробное объяснение поможет вам переписать решение в тетрадь!