Решение: График функции y = x^3 - 3x^2 + x + 5

Хорошо, давайте исследуем функцию и построим её график. Функция задана уравнением: \[y = x^3 - 3x^2 + x + 5\] Это кубическая функция, её график представляет собой кубическую параболу.

1. Область определения функции

Поскольку это многочлен, функция определена для всех действительных чисел. Область определения: \(D(y) = (-\infty; +\infty)\).

2. Четность/нечетность функции

Проверим четность или нечетность функции. Для этого подставим \(-x\) вместо \(x\): \[y(-x) = (-x)^3 - 3(-x)^2 + (-x) + 5\] \[y(-x) = -x^3 - 3x^2 - x + 5\] Поскольку \(y(-x) \neq y(x)\) и \(y(-x) \neq -y(x)\), функция не является ни четной, ни нечетной. Это функция общего вида.

3. Точки пересечения с осями координат

а) Пересечение с осью Oy (при \(x = 0\)):

\[y(0) = 0^3 - 3 \cdot 0^2 + 0 + 5\] \[y(0) = 5\] Точка пересечения с осью Oy: \((0; 5)\).

б) Пересечение с осью Ox (при \(y = 0\)):

\[x^3 - 3x^2 + x + 5 = 0\] Найти корни кубического уравнения аналитически может быть сложно. Попробуем подобрать целые корни среди делителей свободного члена (5): \(\pm 1, \pm 5\). При \(x = -1\): \[(-1)^3 - 3(-1)^2 + (-1) + 5 = -1 - 3(1) - 1 + 5 = -1 - 3 - 1 + 5 = 0\] Значит, \(x = -1\) является корнем уравнения. Это означает, что график функции пересекает ось Ox в точке \((-1; 0)\). Мы можем разделить многочлен \(x^3 - 3x^2 + x + 5\) на \((x+1)\) с помощью деления столбиком или схемы Горнера. Используем схему Горнера: ``` | 1 -3 1 5 -1 | -1 4 -5 ------------------ 1 -4 5 0 ``` Таким образом, \(x^3 - 3x^2 + x + 5 = (x+1)(x^2 - 4x + 5)\). Теперь найдем корни квадратного уравнения \(x^2 - 4x + 5 = 0\). Дискриминант \(D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4\). Поскольку \(D < 0\), квадратное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, функция пересекает ось Ox только в одной точке: \((-1; 0)\).

4. Производная функции и критические точки

Найдем первую производную функции: \[y' = (x^3 - 3x^2 + x + 5)'\] \[y' = 3x^2 - 6x + 1\] Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: \[3x^2 - 6x + 1 = 0\] Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью формулы корней: \[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\] \[x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}\] \[x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12}}{6}\] \[x = \frac{6 \pm \sqrt{24}}{6}\] \[x = \frac{6 \pm 2\sqrt{6}}{6}\] \[x = \frac{3 \pm \sqrt{6}}{3}\] Получаем две критические точки: \[x_1 = \frac{3 - \sqrt{6}}{3} \approx \frac{3 - 2.45}{3} \approx \frac{0.55}{3} \approx 0.18\] \[x_2 = \frac{3 + \sqrt{6}}{3} \approx \frac{3 + 2.45}{3} \approx \frac{5.45}{3} \approx 1.82\]

5. Интервалы монотонности и экстремумы

Разобьем числовую ось на интервалы с помощью критических точек \(x_1\) и \(x_2\): \((-\infty; \frac{3 - \sqrt{6}}{3})\), \((\frac{3 - \sqrt{6}}{3}; \frac{3 + \sqrt{6}}{3})\), \((\frac{3 + \sqrt{6}}{3}; +\infty)\). Определим знак \(y'\) на каждом интервале. Для \(y' = 3x^2 - 6x + 1\), это парабола, ветви которой направлены вверх. Значит, между корнями функция отрицательна, а за корнями - положительна. * На интервале \((-\infty; \frac{3 - \sqrt{6}}{3})\): возьмем \(x = 0\). \(y'(0) = 1 > 0\). Функция возрастает. * На интервале \((\frac{3 - \sqrt{6}}{3}; \frac{3 + \sqrt{6}}{3})\): возьмем \(x = 1\). \(y'(1) = 3(1)^2 - 6(1) + 1 = 3 - 6 + 1 = -2 < 0\). Функция убывает. * На интервале \((\frac{3 + \sqrt{6}}{3}; +\infty)\): возьмем \(x = 2\). \(y'(2) = 3(2)^2 - 6(2) + 1 = 12 - 12 + 1 = 1 > 0\). Функция возрастает. Таким образом: * Функция возрастает на \((-\infty; \frac{3 - \sqrt{6}}{3}]\) и на \( [\frac{3 + \sqrt{6}}{3}; +\infty)\). * Функция убывает на \( [\frac{3 - \sqrt{6}}{3}; \frac{3 + \sqrt{6}}{3}]\). Точки экстремума: * В точке \(x_1 = \frac{3 - \sqrt{6}}{3}\) функция имеет локальный максимум. Найдем значение функции в этой точке: \(y(\frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = (\frac{3 - \sqrt{6}}{3})^3 - 3(\frac{3 - \sqrt{6}}{3})^2 + (\frac{3 - \sqrt{6}}{3}) + 5\) Это довольно громоздкие вычисления. Приближенное значение: \(x_1 \approx 0.18\). \(y(0.18) \approx (0.18)^3 - 3(0.18)^2 + 0.18 + 5 \approx 0.0058 - 3(0.0324) + 0.18 + 5 \approx 0.0058 - 0.0972 + 0.18 + 5 \approx 5.0886\). Локальный максимум: \((\frac{3 - \sqrt{6}}{3}; y(\frac{3 - \sqrt{6}}{3})) \approx (0.18; 5.09)\). * В точке \(x_2 = \frac{3 + \sqrt{6}}{3}\) функция имеет локальный минимум. Найдем значение функции в этой точке: \(y(\frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = (\frac{3 + \sqrt{6}}{3})^3 - 3(\frac{3 + \sqrt{6}}{3})^2 + (\frac{3 + \sqrt{6}}{3}) + 5\) Приближенное значение: \(x_2 \approx 1.82\). \(y(1.82) \approx (1.82)^3 - 3(1.82)^2 + 1.82 + 5 \approx 6.0286 - 3(3.3124) + 1.82 + 5 \approx 6.0286 - 9.9372 + 1.82 + 5 \approx 2.9114\). Локальный минимум: \((\frac{3 + \sqrt{6}}{3}; y(\frac{3 + \sqrt{6}}{3})) \approx (1.82; 2.91)\).

6. Вторая производная и точки перегиба

Найдем вторую производную функции: \[y'' = (3x^2 - 6x + 1)'\] \[y'' = 6x - 6\] Найдем точки перегиба, приравняв вторую производную к нулю: \[6x - 6 = 0\] \[6x = 6\] \[x = 1\] Это потенциальная точка перегиба. Определим знак \(y''\) на интервалах \((-\infty; 1)\) и \((1; +\infty)\). * На интервале \((-\infty; 1)\): возьмем \(x = 0\). \(y''(0) = 6(0) - 6 = -6 < 0\). Функция выпукла вверх (график "смотрит" вниз). * На интервале \((1; +\infty)\): возьмем \(x = 2\). \(y''(2) = 6(2) - 6 = 12 - 6 = 6 > 0\). Функция выпукла вниз (график "смотрит" вверх). В точке \(x = 1\) функция меняет выпуклость, значит, это точка перегиба. Найдем значение функции в точке перегиба: \[y(1) = 1^3 - 3(1)^2 + 1 + 5 = 1 - 3 + 1 + 5 = 4\] Точка перегиба: \((1; 4)\).

7. Асимптоты

Поскольку функция является многочленом, у нее нет вертикальных, горизонтальных или наклонных асимптот.

8. Поведение функции на бесконечности

\[\lim_{x \to +\infty} (x^3 - 3x^2 + x + 5) = +\infty\] \[\lim_{x \to -\infty} (x^3 - 3x^2 + x + 5) = -\infty\]

9. Построение графика

Соберем все полученные данные для построения графика: * Область определения: \((-\infty; +\infty)\). * Не является ни четной, ни нечетной. * Пересечение с Oy: \((0; 5)\). * Пересечение с Ox: \((-1; 0)\). * Локальный максимум: \((0.18; 5.09)\). * Локальный минимум: \((1.82; 2.91)\). * Точка перегиба: \((1; 4)\). * Возрастает на \((-\infty; 0.18]\) и на \( [1.82; +\infty)\). * Убывает на \( [0.18; 1.82]\). * Выпукла вверх на \((-\infty; 1)\). * Выпукла вниз на \((1; +\infty)\). Теперь можно нарисовать график, отмечая эти ключевые точки и соблюдая интервалы монотонности и выпуклости. (Здесь должен быть график. Поскольку я текстовый помощник, я не могу нарисовать его напрямую. Но вы можете построить его, используя полученные точки и информацию.) Начните с нанесения точек: 1. \((-1; 0)\) - пересечение с Ox 2. \((0; 5)\) - пересечение с Oy 3. \((0.18; 5.09)\) - локальный максимум 4. \((1; 4)\) - точка перегиба 5. \((1.82; 2.91)\) - локальный минимум Затем соедините точки, учитывая: * Слева от \(x \approx 0.18\) график идет снизу вверх, проходя через \((-1; 0)\) и \((0; 5)\) до точки максимума \((0.18; 5.09)\). На этом участке он выпуклый вверх. * От \(x \approx 0.18\) до \(x \approx 1.82\) график идет сверху вниз, проходя через точку перегиба \((1; 4)\) до точки минимума \((1.82; 2.91)\). На участке от \(0.18\) до \(1\) он выпуклый вверх, а от \(1\) до \(1.82\) - выпуклый вниз. * Справа от \(x \approx 1.82\) график идет снизу вверх, продолжая быть выпуклым вниз. Вот как будет выглядеть график: (Представьте себе координатную плоскость) * Начинается из левого нижнего угла (от \(-\infty\)). * Поднимается, пересекает ось X в \((-1, 0)\). * Продолжает подниматься, пересекает ось Y в \((0, 5)\). * Достигает локального максимума около \((0.18, 5.09)\). * Начинает опускаться, проходя через точку перегиба \((1, 4)\). * Достигает локального минимума около \((1.82, 2.91)\). * Начинает снова подниматься и уходит в правый верхний угол (к \(+\infty\)).