Построение сечения куба плоскостью KMN

Задача: Построить сечение куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) плоскостью, проходящей через точки \(K\), \(M\) и \(N\). Дано: Точка \(K\) лежит на ребре \(AB\). Точка \(M\) лежит на ребре \(A_1D_1\). Точка \(N\) лежит на ребре \(DD_1\). Построение: 1. Соединяем точки \(M\) и \(N\), так как они лежат в одной плоскости грани \(AA_1D_1D\). Отрезок \(MN\) — первая сторона сечения. 2. Точки \(K\) и \(M\) лежат в разных гранях, поэтому проведем прямую \(MN\) до пересечения с прямой \(AD\), которая является общей для граней \(AA_1D_1D\) и \(ABCD\). Обозначим точку пересечения как \(X\). \[ MN \cap AD = X \] 3. Теперь точки \(X\) и \(K\) лежат в одной плоскости нижнего основания \(ABCD\). Проведем прямую \(XK\). Отрезок этой прямой, лежащий внутри грани, обозначим \(KP\), где \(P\) — точка на ребре \(BC\) или \(CD\) (в зависимости от точного расположения точек). Судя по рисунку, прямая \(XK\) пересечет ребро \(AD\) в точке \(K\) и пойдет к ребру \(CD\). Обозначим точку пересечения с \(CD\) как \(L\). \[ XK \cap CD = L \] 4. Соединяем точки \(K\) и \(L\). Отрезок \(KL\) — вторая сторона сечения. 5. Соединяем точки \(L\) и \(N\), так как они лежат в одной плоскости грани \(CC_1D_1D\). Отрезок \(LN\) — третья сторона сечения. 6. Чтобы достроить сечение в верхней грани, вспомним свойство: если секущая плоскость пересекает параллельные плоскости, то линии пересечения параллельны. Плоскость \(ABCD\) параллельна \(A_1B_1C_1D_1\). Значит, из точки \(M\) в верхней грани нужно провести прямую, параллельную \(KL\). Проводим \(ME \parallel KL\), где \(E\) лежит на ребре \(A_1B_1\). 7. Соединяем оставшиеся точки \(E\) и \(K\). Они лежат в плоскости передней грани \(AA_1B_1B\). Искомое сечение — многоугольник \(K L N M E\). Ответ: Сечение построено последовательным соединением точек в общих плоскостях и использованием свойства параллельности граней куба.