Построение векторной диаграммы токов и напряжений трехфазной цепи

Хорошо, давайте решим эту задачу. Для начала, выберите свой вариант из таблицы. Допустим, вы выбрали вариант №1. Из таблицы для варианта №1 мы имеем следующие данные: Линейное напряжение \(U_{\text{лин}} = 127 \text{ В}\) Сопротивление фазы \(Z_{\text{фазы}} = 50 \text{ Ом}\) Характер нагрузки: RL (индуктивно-активная) Угол сдвига фаз \(\varphi = 25^\circ\)

Решение задачи:

1. Определим фазное напряжение.

Для симметричной трехфазной цепи фазное напряжение связано с линейным напряжением следующим соотношением: \[U_{\text{фазы}} = \frac{U_{\text{лин}}}{\sqrt{3}}\] Подставим значения: \[U_{\text{фазы}} = \frac{127 \text{ В}}{\sqrt{3}} \approx \frac{127}{1.732} \approx 73.32 \text{ В}\]

2. Определим фазные токи.

Фазный ток в каждой фазе определяется по закону Ома: \[I_{\text{фазы}} = \frac{U_{\text{фазы}}}{Z_{\text{фазы}}}\] Подставим значения: \[I_{\text{фазы}} = \frac{73.32 \text{ В}}{50 \text{ Ом}} \approx 1.466 \text{ А}\] В симметричной трехфазной цепи при симметричной нагрузке линейные токи равны фазным токам: \[I_{\text{лин}} = I_{\text{фазы}} \approx 1.466 \text{ А}\]

3. Построение векторной диаграммы токов и напряжений.

Векторная диаграмма для симметричной трехфазной цепи с индуктивно-активной нагрузкой (RL) строится следующим образом: 1. Нарисуем векторы фазных напряжений. Они сдвинуты друг относительно друга на \(120^\circ\). Примем фазное напряжение фазы A за начало отсчета (лежащим на горизонтальной оси). * \(U_A = U_{\text{фазы}} \angle 0^\circ\) * \(U_B = U_{\text{фазы}} \angle -120^\circ\) * \(U_C = U_{\text{фазы}} \angle -240^\circ = U_{\text{фазы}} \angle 120^\circ\) 2. Нарисуем векторы линейных напряжений. Они сдвинуты относительно соответствующих фазных напряжений на \(30^\circ\) и опережают их. * \(U_{AB} = U_{\text{лин}} \angle 30^\circ\) * \(U_{BC} = U_{\text{лин}} \angle -90^\circ\) * \(U_{CA} = U_{\text{лин}} \angle 150^\circ\) 3. Нарисуем векторы фазных токов. Поскольку нагрузка индуктивно-активная (RL), токи отстают от соответствующих фазных напряжений на угол \(\varphi = 25^\circ\). * \(I_A = I_{\text{фазы}} \angle -\varphi = I_{\text{фазы}} \angle -25^\circ\) * \(I_B = I_{\text{фазы}} \angle (-120^\circ - \varphi) = I_{\text{фазы}} \angle (-120^\circ - 25^\circ) = I_{\text{фазы}} \angle -145^\circ\) * \(I_C = I_{\text{фазы}} \angle (120^\circ - \varphi) = I_{\text{фазы}} \angle (120^\circ - 25^\circ) = I_{\text{фазы}} \angle 95^\circ\)

Порядок построения на листе:

1. Выберите удобный масштаб для напряжений и токов. 2. Начертите три вектора фазных напряжений \(U_A\), \(U_B\), \(U_C\) под углами \(0^\circ\), \(-120^\circ\), \(120^\circ\) соответственно, исходящих из одной точки. Длина векторов должна соответствовать \(U_{\text{фазы}}\). 3. Начертите три вектора линейных напряжений \(U_{AB}\), \(U_{BC}\), \(U_{CA}\) под углами \(30^\circ\), \(-90^\circ\), \(150^\circ\) соответственно. Длина векторов должна соответствовать \(U_{\text{лин}}\). (Можно также построить их как разность фазных напряжений, например, \(U_{AB} = U_A - U_B\)). 4. От каждого вектора фазного напряжения отложите вектор соответствующего фазного тока, отстающий от напряжения на угол \(\varphi = 25^\circ\). Длина векторов должна соответствовать \(I_{\text{фазы}}\).

4. Определение мощности трехфазной цепи (P, Q, S).

Активная мощность (P): \[P = 3 \cdot U_{\text{фазы}} \cdot I_{\text{фазы}} \cdot \cos(\varphi)\] или \[P = \sqrt{3} \cdot U_{\text{лин}} \cdot I_{\text{лин}} \cdot \cos(\varphi)\] Подставим значения: \[P = \sqrt{3} \cdot 127 \text{ В} \cdot 1.466 \text{ А} \cdot \cos(25^\circ)\] \[P \approx 1.732 \cdot 127 \cdot 1.466 \cdot 0.906 \approx 291.8 \text{ Вт}\] Реактивная мощность (Q): \[Q = 3 \cdot U_{\text{фазы}} \cdot I_{\text{фазы}} \cdot \sin(\varphi)\] или \[Q = \sqrt{3} \cdot U_{\text{лин}} \cdot I_{\text{лин}} \cdot \sin(\varphi)\] Подставим значения: \[Q = \sqrt{3} \cdot 127 \text{ В} \cdot 1.466 \text{ А} \cdot \sin(25^\circ)\] \[Q \approx 1.732 \cdot 127 \cdot 1.466 \cdot 0.423 \approx 136.2 \text{ вар}\] Полная мощность (S): \[S = 3 \cdot U_{\text{фазы}} \cdot I_{\text{фазы}}\] или \[S = \sqrt{3} \cdot U_{\text{лин}} \cdot I_{\text{лин}}\] или \[S = \sqrt{P^2 + Q^2}\] Подставим значения: \[S = \sqrt{3} \cdot 127 \text{ В} \cdot 1.466 \text{ А}\] \[S \approx 1.732 \cdot 127 \cdot 1.466 \approx 322.9 \text{ ВА}\] Проверим по формуле \(S = \sqrt{P^2 + Q^2}\): \[S = \sqrt{(291.8)^2 + (136.2)^2} = \sqrt{85147.24 + 18550.44} = \sqrt{103697.68} \approx 322.0 \text{ ВА}\] Небольшое расхождение связано с округлениями.

Итог для записи в тетрадь:

Вариант №1

Дано:

Линейное напряжение \(U_{\text{лин}} = 127 \text{ В}\) Сопротивление фазы \(Z_{\text{фазы}} = 50 \text{ Ом}\) Характер нагрузки: RL (индуктивно-активная) Угол сдвига фаз \(\varphi = 25^\circ\)

Найти:

1. Векторную диаграмму токов и напряжений. 2. Активную мощность \(P\). 3. Реактивную мощность \(Q\). 4. Полную мощность \(S\).

Решение:

1. Определим фазное напряжение: \[U_{\text{фазы}} = \frac{U_{\text{лин}}}{\sqrt{3}} = \frac{127 \text{ В}}{\sqrt{3}} \approx 73.32 \text{ В}\] 2. Определим фазные токи: \[I_{\text{фазы}} = \frac{U_{\text{фазы}}}{Z_{\text{фазы}}} = \frac{73.32 \text{ В}}{50 \text{ Ом}} \approx 1.466 \text{ А}\] Линейные токи равны фазным токам: \(I_{\text{лин}} = I_{\text{фазы}} \approx 1.466 \text{ А}\) 3. Построение векторной диаграммы: * Векторы фазных напряжений: \(U_A = 73.32 \text{ В} \angle 0^\circ\) \(U_B = 73.32 \text{ В} \angle -120^\circ\) \(U_C = 73.32 \text{ В} \angle 120^\circ\) * Векторы линейных напряжений: \(U_{AB} = 127 \text{ В} \angle 30^\circ\) \(U_{BC} = 127 \text{ В} \angle -90^\circ\) \(U_{CA} = 127 \text{ В} \angle 150^\circ\) * Векторы фазных токов (отстают от фазных напряжений на \(25^\circ\) из-за RL-нагрузки): \(I_A = 1.466 \text{ А} \angle -25^\circ\) \(I_B = 1.466 \text{ А} \angle -145^\circ\) \(I_C = 1.466 \text{ А} \angle 95^\circ\) (На этом этапе необходимо начертить саму диаграмму, используя выбранный масштаб). 4. Определение мощностей: * Активная мощность: \[P = \sqrt{3} \cdot U_{\text{лин}} \cdot I_{\text{лин}} \cdot \cos(\varphi) = \sqrt{3} \cdot 127 \text{ В} \cdot 1.466 \text{ А} \cdot \cos(25^\circ) \approx 291.8 \text{ Вт}\] * Реактивная мощность: \[Q = \sqrt{3} \cdot U_{\text{лин}} \cdot I_{\text{лин}} \cdot \sin(\varphi) = \sqrt{3} \cdot 127 \text{ В} \cdot 1.466 \text{ А} \cdot \sin(25^\circ) \approx 136.2 \text{ вар}\] * Полная мощность: \[S = \sqrt{3} \cdot U_{\text{лин}} \cdot I_{\text{лин}} = \sqrt{3} \cdot 127 \text{ В} \cdot 1.466 \text{ А} \approx 322.9 \text{ ВА}\]

Ответ:

Фазное напряжение \(U_{\text{фазы}} \approx 73.32 \text{ В}\). Фазный ток \(I_{\text{фазы}} \approx 1.466 \text{ А}\). Активная мощность \(P \approx 291.8 \text{ Вт}\). Реактивная мощность \(Q \approx 136.2 \text{ вар}\). Полная мощность \(S \approx 322.9 \text{ ВА}\). Векторная диаграмма построена согласно расчетам.