График функции y = cos(x/2 - 2π/3). Решение задачи 1.6

Ниже представлены решения выбранных задач. Для построения графиков тригонометрических функций мы будем использовать метод преобразований базового графика. Задание 1.6. Построить график функции \( y = \cos\left(\frac{1}{2}x - \frac{2\pi}{3}\right) \) Решение: Преобразуем аргумент функции, вынеся коэффициент при \( x \) за скобки: \[ y = \cos\left(\frac{1}{2}\left(x - \frac{4\pi}{3}\right)\right) \] 1. Базовый график: \( y = \cos(x) \). 2. Сжатие/растяжение: Коэффициент \( k = \frac{1}{2} \) означает растяжение графика вдоль оси \( Ox \) в 2 раза. Период функции становится \( T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi \). 3. Сдвиг: Сдвиг вправо по оси \( Ox \) на \( \frac{4\pi}{3} \). Точки для построения: При \( x = \frac{4\pi}{3} \), \( y = \cos(0) = 1 \) (максимум). При \( x = \frac{4\pi}{3} + \pi = \frac{7\pi}{3} \), \( y = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 \). При \( x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi = \frac{10\pi}{3} \), \( y = \cos(\pi) = -1 \) (минимум). Задание 2.6. Построить график функции \( y = \frac{1}{2}\cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right) \) Решение: 1. Базовый график: \( y = \cos(x) \). 2. Сдвиг: Сдвиг влево по оси \( Ox \) на \( \frac{\pi}{6} \). 3. Амплитуда: Коэффициент \( \frac{1}{2} \) перед функцией сжимает график вдоль оси \( Oy \) в 2 раза. Область значений: \( [-0.5; 0.5] \). Точки для построения: При \( x = -\frac{\pi}{6} \), \( y = \frac{1}{2}\cos(0) = 0.5 \). При \( x = \frac{\pi}{3} \), \( y = \frac{1}{2}\cos(\frac{\pi}{2}) = 0 \). При \( x = \frac{5\pi}{6} \), \( y = \frac{1}{2}\cos(\pi) = -0.5 \). Задание 3.6. Построить график функции \( y = 3\sin(x) + 2 \) Решение: 1. Базовый график: \( y = \sin(x) \). 2. Амплитуда: Растяжение вдоль оси \( Oy \) в 3 раза. Теперь значения колеблются от -3 до 3. 3. Сдвиг вверх: Подъем всего графика вдоль оси \( Oy \) на 2 единицы. Итоговая область значений: \( [-3+2; 3+2] = [-1; 5] \). Точки для построения: При \( x = 0 \), \( y = 3\cdot 0 + 2 = 2 \). При \( x = \frac{\pi}{2} \), \( y = 3\cdot 1 + 2 = 5 \) (максимум). При \( x = \frac{3\pi}{2} \), \( y = 3\cdot(-1) + 2 = -1 \) (минимум). Задание 4.6. Найдите область значений функции \( y = -2\cos\left(\frac{\pi}{3} - x\right) - 1 \) Решение: 1. Известно, что для любой функции косинуса: \[ -1 \le \cos\left(\frac{\pi}{3} - x\right) \le 1 \] 2. Умножим все части неравенства на -2 (при этом знаки неравенства меняются, но границы остаются теми же): \[ -2 \le -2\cos\left(\frac{\pi}{3} - x\right) \le 2 \] 3. Вычтем 1 из всех частей неравенства: \[ -2 - 1 \le -2\cos\left(\frac{\pi}{3} - x\right) - 1 \le 2 - 1 \] \[ -3 \le y \le 1 \] Ответ: \( E(y) = [-3; 1] \). Задание 5.6. Исследуйте функцию на четность/нечетность: \( y(x) = x \cdot \text{ctg}x - 2\cos x \) Решение: Функция определена при \( x \ne \pi n, n \in \mathbb{Z} \). Область определения симметрична относительно нуля. Проверим условие \( y(-x) \): \[ y(-x) = (-x) \cdot \text{ctg}(-x) - 2\cos(-x) \] Так как \( \text{ctg}(-x) = -\text{ctg}x \) (нечетная) и \( \cos(-x) = \cos x \) (четная), получаем: \[ y(-x) = (-x) \cdot (-\text{ctg}x) - 2\cos x \] \[ y(-x) = x \cdot \text{ctg}x - 2\cos x \] Заметим, что \( y(-x) = y(x) \). Ответ: Функция является четной.