Построение векторной диаграммы токов и напряжений для треугольника сопротивлений

Хорошо, если это треугольник, и мы рассматриваем только активные сопротивления (нет индуктивностей и емкостей, так как "частоты нету"), то фазовые сдвиги между токами и напряжениями в каждой ветви будут отсутствовать. Это значительно упрощает построение диаграммы. Давайте предположим, что на зажимы \(A\), \(B\), \(C\) подается симметричная трехфазная система напряжений. Обозначим сопротивления: \(R_{AB} = R\) (между A и B) \(R_{BC} = 2R\) (между B и C) \(R_{CA} = R\) (между C и A) На схеме, которую вы предоставили, сопротивления расположены следующим образом: Между A и C: \(2R\) Между A и B: \(R\) Между B и C: \(R\) Давайте будем использовать обозначения с вашей схемы: \(R_{AC} = 2R\) \(R_{AB} = R\) \(R_{BC} = R\) Имеем три линейных напряжения: \(U_{AB}\), \(U_{BC}\), \(U_{CA}\). В симметричной системе они равны по модулю и сдвинуты друг относительно друга на 120 градусов. Пусть \(U\) - модуль линейного напряжения. Тогда: \(U_{AB} = U\) \(U_{BC} = U\) \(U_{CA} = U\) Построим векторную диаграмму напряжений. Удобно расположить один из векторов по горизонтали. 1. **Векторная диаграмма напряжений:** * Выберем \(U_{AB}\) в качестве базового вектора, направленного по горизонтали. * \(U_{BC}\) будет отставать от \(U_{AB}\) на 120 градусов. * \(U_{CA}\) будет опережать \(U_{AB}\) на 120 градусов (или отставать на 240 градусов). * Векторы должны образовывать замкнутый треугольник. \[ \begin{array}{c} \text{Вектор } U_{AB} \text{ (горизонтально)} \\ \text{Вектор } U_{BC} \text{ (под углом -120° к } U_{AB}) \\ \text{Вектор } U_{CA} \text{ (под углом +120° к } U_{AB}) \end{array} \] 2. **Расчет фазных токов (токов в ветвях треугольника):** Так как сопротивления активные, токи в ветвях будут совпадать по фазе с напряжениями на этих ветвях. * Ток в ветви AC: \(I_{AC} = \frac{U_{AC}}{R_{AC}} = \frac{U_{CA}}{2R}\) (обратите внимание на направление напряжения \(U_{CA}\) и тока \(I_{AC}\)) Если мы рассматриваем ток \(I_{AC}\) как текущий от A к C, то напряжение на этой ветви \(U_{AC}\). \(I_{AC} = \frac{U_{AC}}{2R}\) Фаза \(I_{AC}\) совпадает с фазой \(U_{AC}\). * Ток в ветви AB: \(I_{AB} = \frac{U_{AB}}{R_{AB}} = \frac{U_{AB}}{R}\) Фаза \(I_{AB}\) совпадает с фазой \(U_{AB}\). * Ток в ветви BC: \(I_{BC} = \frac{U_{BC}}{R_{BC}} = \frac{U_{BC}}{R}\) Фаза \(I_{BC}\) совпадает с фазой \(U_{BC}\). Модули токов: \(|I_{AB}| = \frac{U}{R}\) \(|I_{BC}| = \frac{U}{R}\) \(|I_{AC}| = \frac{U}{2R}\) 3. **Векторная диаграмма токов:** Теперь отложим векторы фазных токов, совпадающие по фазе с соответствующими напряжениями. * Вектор \(I_{AB}\) будет направлен так же, как \(U_{AB}\). * Вектор \(I_{BC}\) будет направлен так же, как \(U_{BC}\). * Вектор \(I_{AC}\) будет направлен так же, как \(U_{AC}\). (Напряжение \(U_{AC}\) противоположно \(U_{CA}\), то есть \(U_{AC} = -U_{CA}\). Если \(U_{CA}\) опережает \(U_{AB}\) на 120°, то \(U_{AC}\) отстает от \(U_{AB}\) на 60°). \[ \begin{array}{c} \text{Вектор } I_{AB} \text{ (горизонтально, длина } U/R) \\ \text{Вектор } I_{BC} \text{ (под углом -120° к } U_{AB}, \text{ длина } U/R) \\ \text{Вектор } I_{AC} \text{ (под углом -60° к } U_{AB}, \text{ длина } U/2R) \end{array} \] 4. **Расчет линейных токов:** Линейные токи - это токи, текущие от источника к узлам треугольника. Они являются векторной разностью фазных токов, сходящихся в узле. * Ток в линии A: \(I_A = I_{AB} - I_{CA}\) (или \(I_A = I_{AB} + I_{AC}\) если \(I_{AC}\) направлен от A к C, а \(I_{CA}\) от C к A) Используем правило: ток, входящий в узел, равен сумме токов, выходящих из узла. В узле A: \(I_A = I_{AB} + I_{AC}\) (где \(I_{AC}\) - ток, текущий из A в C) В узле B: \(I_B = I_{BC} - I_{AB}\) (или \(I_B = I_{BC} + I_{BA}\)) В узле C: \(I_C = I_{CA} - I_{BC}\) (или \(I_C = I_{CA} + I_{CB}\)) Давайте уточним направления токов для расчета линейных токов. Пусть фазные токи направлены от первой буквы к второй: \(I_{AB}\) - от A к B \(I_{BC}\) - от B к C \(I_{CA}\) - от C к A Тогда линейные токи: \(I_A = I_{AB} - I_{CA}\) \(I_B = I_{BC} - I_{AB}\) \(I_C = I_{CA} - I_{BC}\) Теперь нужно выполнить векторное сложение/вычитание. * **Для \(I_A\):** \(I_A = I_{AB} - I_{CA}\) Вектор \(I_{AB}\) направлен по \(U_{AB}\). Вектор \(I_{CA}\) направлен по \(U_{CA}\). Вектор \(-I_{CA}\) будет направлен противоположно \(I_{CA}\), то есть по \(U_{AC}\). \(I_A\) будет векторной суммой \(I_{AB}\) и \(-I_{CA}\). * **Для \(I_B\):** \(I_B = I_{BC} - I_{AB}\) Вектор \(I_{BC}\) направлен по \(U_{BC}\). Вектор \(-I_{AB}\) будет направлен противоположно \(I_{AB}\). \(I_B\) будет векторной суммой \(I_{BC}\) и \(-I_{AB}\). * **Для \(I_C\):** \(I_C = I_{CA} - I_{BC}\) Вектор \(I_{CA}\) направлен по \(U_{CA}\). Вектор \(-I_{BC}\) будет направлен противоположно \(I_{BC}\). \(I_C\) будет векторной суммой \(I_{CA}\) и \(-I_{BC}\). Построение на диаграмме: * Нарисуйте векторы \(I_{AB}\), \(I_{BC}\), \(I_{CA}\) (как описано выше). * Для \(I_A\): от конца вектора \(I_{CA}\) отложите вектор \(I_{AB}\). Или от начала \(I_{AB}\) отложите вектор \(-I_{CA}\). * Для \(I_B\): от конца вектора \(I_{AB}\) отложите вектор \(I_{BC}\). * Для \(I_C\): от конца вектора \(I_{BC}\) отложите вектор \(I_{CA}\). Поскольку у нас нет конкретных числовых значений для \(U\) и \(R\), мы можем только показать относительные длины векторов и их фазовые соотношения. **Пример построения (без точных углов, только для понимания):** 1. **Напряжения:** Нарисуйте равносторонний треугольник, вершины которого соответствуют концам векторов \(U_{AB}\), \(U_{BC}\), \(U_{CA}\). Пусть \(U_{AB}\) горизонтален. \(U_{BC}\) под углом -120°. \(U_{CA}\) под углом +120°. 2. **Фазные токи:** * \(I_{AB}\) - параллелен \(U_{AB}\), длина \(U/R\). * \(I_{BC}\) - параллелен \(U_{BC}\), длина \(U/R\). * \(I_{CA}\) - параллелен \(U_{CA}\), длина \(U/2R\). (Обратите внимание, что \(I_{CA}\) в два раза короче, чем \(I_{AB}\) и \(I_{BC}\)). 3. **Линейные токи:** * \(I_A = I_{AB} - I_{CA}\). На диаграмме это означает, что от конца вектора \(I_{CA}\) нужно отложить вектор \(I_{AB}\). Или, что удобнее, от начала координат отложить \(I_{AB}\), а затем от его конца отложить вектор \(-I_{CA}\) (который будет направлен противоположно \(I_{CA}\)). * \(I_B = I_{BC} - I_{AB}\). От начала координат отложить \(I_{BC}\), а затем от его конца отложить вектор \(-I_{AB}\). * \(I_C = I_{CA} - I_{BC}\). От начала координат отложить \(I_{CA}\), а затем от его конца отложить вектор \(-I_{BC}\). **Важное замечание:** Если в точке C есть "разрыв цепи" (символ, похожий на крестик), то это может означать, что ветвь AC или BC (или обе) не подключены, или что это точка подключения нейтрали, что нехарактерно для треугольника. Если это разрыв, то схема будет разомкнута, и токи в соответствующих ветвях будут равны нулю. Однако, если это просто обозначение узла C, то расчеты верны. Предполагаем, что это просто узел C. Для школьника, чтобы перерисовать в тетрадь, лучше всего: * Нарисовать оси координат. * Отложить векторы напряжений \(U_{AB}\), \(U_{BC}\), \(U_{CA}\) с соблюдением углов 120 градусов и одинаковой длиной. * Отложить векторы фазных токов \(I_{AB}\), \(I_{BC}\), \(I_{CA}\) параллельно соответствующим напряжениям, но с учетом их модулей (\(I_{AB}\) и \(I_{BC}\) одинаковой длины, \(I_{CA}\) в два раза короче). * Затем выполнить векторное вычитание для получения линейных токов. Если вы хотите, чтобы я нарисовал схематично, как это будет выглядеть, дайте знать.