График функции f(x) = 2/x, x/2: Решение и Построение

Вот как можно построить график функции \(f(x)\): Сначала разберем функцию по частям. 1. **Первая часть: \(f(x) = \frac{2}{x}\), если \(x < -1\)** * Это гипербола. * Давайте найдем несколько точек для этой части: * Если \(x = -2\), то \(f(-2) = \frac{2}{-2} = -1\). Точка \((-2, -1)\). * Если \(x = -4\), то \(f(-4) = \frac{2}{-4} = -0.5\). Точка \((-4, -0.5)\). * При приближении \(x\) к \(-1\) (слева), значение \(f(x)\) будет стремиться к \(\frac{2}{-1} = -2\). Но в точке \(x = -1\) эта часть функции не определена, поэтому мы нарисуем "выколотую" точку \((-1, -2)\). 2. **Вторая часть: \(f(x) = \frac{x}{2}\), если \(-1 \le x \le 1\)** * Это прямая линия. * Давайте найдем значения на границах интервала: * Если \(x = -1\), то \(f(-1) = \frac{-1}{2} = -0.5\). Точка \((-1, -0.5)\). * Если \(x = 0\), то \(f(0) = \frac{0}{2} = 0\). Точка \((0, 0)\). * Если \(x = 1\), то \(f(1) = \frac{1}{2} = 0.5\). Точка \((1, 0.5)\). * Эта часть графика будет отрезком прямой, соединяющим точки \((-1, -0.5)\) и \((1, 0.5)\). 3. **Третья часть: \(f(x) = \frac{2}{x}\), если \(x > 1\)** * Это тоже гипербола. * Давайте найдем несколько точек для этой части: * Если \(x = 2\), то \(f(2) = \frac{2}{2} = 1\). Точка \((2, 1)\). * Если \(x = 4\), то \(f(4) = \frac{2}{4} = 0.5\). Точка \((4, 0.5)\). * При приближении \(x\) к \(1\) (справа), значение \(f(x)\) будет стремиться к \(\frac{2}{1} = 2\). Но в точке \(x = 1\) эта часть функции не определена, поэтому мы нарисуем "выколотую" точку \((1, 2)\). Теперь давайте опишем, как нарисовать график: 1. Начертите координатную плоскость с осями \(x\) и \(y\). 2. **Для \(x < -1\):** * Нарисуйте ветвь гиперболы, проходящую через точки \((-2, -1)\), \((-4, -0.5)\) и так далее. * Эта ветвь будет приближаться к оси \(x\) при \(x \to -\infty\). * В точке \(x = -1\) поставьте выколотую точку \((-1, -2)\), так как функция не включает это значение. 3. **Для \(-1 \le x \le 1\):** * Нарисуйте отрезок прямой, соединяющий точки \((-1, -0.5)\) и \((1, 0.5)\). * Эти точки будут закрашенными, так как интервал включает границы. 4. **Для \(x > 1\):** * Нарисуйте ветвь гиперболы, проходящую через точки \((2, 1)\), \((4, 0.5)\) и так далее. * Эта ветвь будет приближаться к оси \(x\) при \(x \to +\infty\). * В точке \(x = 1\) поставьте выколотую точку \((1, 2)\), так как функция не включает это значение. **Важные замечания для графика:** * На графике будет видно, что функция имеет разрывы в точках \(x = -1\) и \(x = 1\). * В точке \(x = -1\), значение функции равно \(-0.5\), но слева от \(-1\) она стремится к \(-2\). * В точке \(x = 1\), значение функции равно \(0.5\), но справа от \(1\) она стремится к \(2\). К сожалению, я не могу нарисовать сам график, но я подробно описал, как его построить. Вы можете использовать эти инструкции, чтобы нарисовать его в тетради.