Решение дифференциального уравнения y'' + 9y = 0

Решение задачи: Дано линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами: \[ y'' + 9y = 0 \] с начальными условиями: \[ y(0) = 0, \quad y'(0) = 3 \] Требуется найти значение \( y\left(\frac{\pi}{6}\right) \). 1. Составим характеристическое уравнение: \[ k^2 + 9 = 0 \] \[ k^2 = -9 \] Корни уравнения являются чисто мнимыми: \[ k_{1,2} = \pm 3i \] 2. Общее решение уравнения имеет вид: \[ y(x) = C_1 \cos(3x) + C_2 \sin(3x) \] 3. Найдем производную общего решения: \[ y'(x) = -3C_1 \sin(3x) + 3C_2 \cos(3x) \] 4. Используем начальные условия для нахождения констант \( C_1 \) и \( C_2 \): Из условия \( y(0) = 0 \): \[ 0 = C_1 \cos(0) + C_2 \sin(0) \] \[ 0 = C_1 \cdot 1 + C_2 \cdot 0 \implies C_1 = 0 \] Из условия \( y'(0) = 3 \): \[ 3 = -3C_1 \sin(0) + 3C_2 \cos(0) \] \[ 3 = 0 + 3C_2 \cdot 1 \implies C_2 = 1 \] 5. Запишем частное решение: \[ y(x) = \sin(3x) \] 6. Вычислим значение функции в точке \( x = \frac{\pi}{6} \): \[ y\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(3 \cdot \frac{\pi}{6}\right) \] \[ y\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) \] Так как \( \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \): \[ y\left(\frac{\pi}{6}\right) = 1 \] 7. Запишем ответ с точностью до сотых, как требует условие: \[ 1.00 \] Ответ: 1.00