Решение Дифференциального Уравнения y'' - 4y' + 3y = 0 с Начальными Условиями

Решение задачи: Дано линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами: \[ y'' - 4y' + 3y = 0 \] с начальными условиями: \[ y(0) = 2, \quad y'(0) = 5 \] Требуется найти значение \( y(1) \). 1. Составим характеристическое уравнение: \[ k^2 - 4k + 3 = 0 \] Найдем корни через дискриминант или по теореме Виета: \[ (k - 1)(k - 3) = 0 \] Корни уравнения: \[ k_1 = 1, \quad k_2 = 3 \] 2. Общее решение уравнения имеет вид: \[ y(x) = C_1 e^x + C_2 e^{3x} \] 3. Найдем производную общего решения: \[ y'(x) = C_1 e^x + 3C_2 e^{3x} \] 4. Используем начальные условия для нахождения констант \( C_1 \) и \( C_2 \): Подставим \( x = 0 \) в уравнения для \( y \) и \( y' \): \[ \begin{cases} C_1 e^0 + C_2 e^0 = 2 \\ C_1 e^0 + 3C_2 e^0 = 5 \end{cases} \] \[ \begin{cases} C_1 + C_2 = 2 \\ C_1 + 3C_2 = 5 \end{cases} \] Вычтем первое уравнение из второго: \[ 2C_2 = 3 \implies C_2 = 1.5 \] Найдем \( C_1 \): \[ C_1 + 1.5 = 2 \implies C_1 = 0.5 \] 5. Запишем частное решение: \[ y(x) = 0.5 e^x + 1.5 e^{3x} \] 6. Вычислим значение функции в точке \( x = 1 \): \[ y(1) = 0.5 e^1 + 1.5 e^3 \] Используя значения \( e \approx 2.71828 \) и \( e^3 \approx 20.08554 \): \[ y(1) = 0.5 \cdot 2.71828 + 1.5 \cdot 20.08554 \] \[ y(1) = 1.35914 + 30.12831 \] \[ y(1) = 31.48745 \] 7. Округляем результат до сотых: \[ y(1) \approx 31.49 \] Ответ: 31.49