Решение задачи №219 по геометрии

Вот решение задачи № 219, оформленное для записи в тетрадь. № 219 Дано: \(\triangle ABC\), \(AD\) — биссектриса (\(\angle BAD = \angle CAD\)), \(O\) — середина \(AD\) (\(AO = OD\)), \(MO \perp AD\), \(M \in AC\). Доказать: \(MD \parallel AB\). Доказательство: 1. Рассмотрим \(\triangle AMD\). В этом треугольнике отрезок \(MO\) является медианой (так как \(AO = OD\) по условию) и высотой (так как \(MO \perp AD\) по условию). Если в треугольнике медиана совпадает с высотой, то такой треугольник является равнобедренным. Следовательно, \(\triangle AMD\) — равнобедренный с основанием \(AD\). 2. В равнобедренном треугольнике \(AMD\) углы при основании равны: \(\angle MAD = \angle MDA\). 3. По условию \(AD\) — биссектриса угла \(A\) треугольника \(ABC\), значит: \(\angle BAD = \angle CAD\). Так как точка \(M\) лежит на стороне \(AC\), то \(\angle CAD\) и \(\angle MAD\) — это один и тот же угол. Следовательно, \(\angle BAD = \angle MAD\). 4. Сравним углы: Из пункта 2 имеем: \(\angle MAD = \angle MDA\). Из пункта 3 имеем: \(\angle MAD = \angle BAD\). Отсюда следует, что \(\angle MDA = \angle BAD\). 5. Углы \(\angle MDA\) и \(\angle BAD\) являются накрест лежащими при пересечении прямых \(MD\) и \(AB\) секущей \(AD\). Согласно признаку параллельности прямых: если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Так как \(\angle MDA = \angle BAD\), то \(MD \parallel AB\). Что и требовалось доказать.